Rasyonel bir denklem, pay veya paydasında bir veya daha fazla değişken bulunan bir kesirdir. Rasyonel bir denklem, en az bir rasyonel denklem içeren herhangi bir kesirdir. Sıradan cebirsel denklemler gibi, rasyonel denklemler, değişkenler denklemin her iki tarafına da aktarılıncaya kadar denklemin her iki tarafında aynı işlem gerçekleştirilerek çözülür. İki özel teknik, çapraz çarpma ve en küçük ortak paydayı bulma, değişkenleri taşımak ve rasyonel denklemleri çözmek için çok kullanışlı yollardır.
Adım
Yöntem 1/2: Çapraz Çarpma
Adım 1. Gerekirse, denklemin bir tarafında bir kesir elde etmek için denkleminizi yeniden düzenleyin
Çapraz çarpma, rasyonel denklemleri çözmenin hızlı ve kolay bir yoludur. Ne yazık ki, bu yöntem yalnızca denklemin her iki tarafında en az bir rasyonel denklem veya kesir içeren rasyonel denklemler için kullanılabilir. Denkleminiz bu çapraz çarpım gereksinimlerini karşılamıyorsa, parçaları doğru yerlere taşımak için cebirsel işlemleri kullanmanız gerekebilir.
-
Örneğin, (x + 3)/4 - x/(-2) = 0 denklemi, denklemin her iki tarafına x/(-2) eklenerek kolayca çapraz çarpım formuna getirilebilir, böylece (x olur) + 3)/4 = x/(-2).
Ondalık ve tam sayıların payda 1 verilerek kesirlere dönüştürülebileceğini unutmayın. (x + 3)/4 – 2, 5 = 5, örneğin (x + 3)/4 = 7, 5/ şeklinde yeniden yazılabilir. 1, çapraz çarpma koşulunu karşılamasını sağlar
- Bazı rasyonel denklemler, her iki tarafında bir kesir veya rasyonel denklem bulunan bir forma kolayca indirgenemez. Bu gibi durumlarda, aynı en küçük payda yaklaşımını kullanın.
Adım 2. Çapraz çarpma
Çapraz çarpma, bir kesrin paylarından birini başka bir kesrin paydasıyla çarpmak anlamına gelir ve bunun tersi de geçerlidir. Soldaki kesrin payını sağdaki kesrin paydası ile çarpın. Sağ payda ile sol payda ile tekrarlayın.
Çapraz çarpma, temel cebirsel ilkelere göre çalışır. Rasyonel denklemler ve diğer kesirler, payda ile çarpılarak kesir olmayanlara dönüştürülebilir. Çapraz çarpım, temel olarak bir denklemin her iki tarafını her iki payda ile çarpmanın hızlı bir yoludur. İnanma? Bir deneyin - basitleştirdikten sonra aynı sonucu alacaksınız
Adım 3. İki ürünü birbirine eşit yapın
Çapraz çarpma işleminden sonra iki çarpma sonucu elde edeceksiniz. Bunları birbirine eşit yapın ve denklemi olabildiğince basit hale getirmek için basitleştirin.
Örneğin, orijinal rasyonel denkleminiz (x+3)/4 = x/(-2) ise, çapraz çarpmadan sonra yeni denkleminiz -2(x+3) = 4x olur. İsterseniz -2x - 6 = 4x şeklinde de yazabilirsiniz
Adım 4. Değişkeninizin değerini bulun
Denkleminizin değişkeninin değerini bulmak için cebirsel işlemleri kullanın. Unutmayın, denklemin her iki tarafında da x görünüyorsa, x'i denklemin yalnızca bir tarafında bırakmak için denklemin her iki tarafına da x eklemeniz veya çıkarmanız gerektiğini unutmayın.
Örneğimizde denklemin her iki tarafını da -2'ye bölebiliriz, yani x+3 = -2x. x'i her iki taraftan çıkarmak 3 = -3x verir. Son olarak, her iki tarafı -3'e bölerek sonuç -1 = x olur ve bu x = -1 şeklinde yazılabilir. Rasyonel denklemimizi çözerek x'in değerini bulduk
Yöntem 2/2: En Küçük Ortak Paydayı Bulma
Adım 1. Aynı en küçük paydayı kullanmak için tam zamanı bilin
Aynı en küçük payda, rasyonel denklemleri basitleştirmek için kullanılabilir, bu da onları değişken değerler için aranabilir hale getirir. Rasyonel denkleminiz denklemin her iki tarafında bir kesir (ve yalnızca bir kesir) cinsinden kolayca yazılamıyorsa, en küçük ortak paydayı bulmak iyi bir fikirdir. Üç veya daha fazla parçalı rasyonel denklemleri çözmek için en küçük ortak payda yararlıdır. Ancak, sadece iki parçalı rasyonel bir denklemi çözmek için çapraz çarpım kullanmak daha hızlıdır.
Adım 2. Her kesrin paydasını kontrol edin
Her paydanın bölebileceği en küçük sayıyı belirleyin ve bir tam sayı üretin. Bu sayı, denkleminiz için en küçük ortak paydadır.
- Bazen en küçük ortak payda, yani paydada tüm çarpanları içeren en küçük sayı açıkça görülebilir. Örneğin, denkleminiz x/3 + 1/2 = (3x+1)/6 ise, çarpanları 3, 2 ve 6 olan en küçük sayı olan 6'yı görmek zor değildir.
- Bununla birlikte, çoğu zaman, rasyonel bir denklemin en az ortak paydası açıkça görülmez. Bunun gibi bir durumda, diğer tüm küçük paydaların çarpanlarına sahip bir sayı bulana kadar daha büyük paydanın katlarını kontrol etmeyi deneyin. Çoğu zaman, en az ortak payda iki paydanın çarpımıdır. Örneğin, x/8 + 2/6 = (x-3)/9 denkleminde en küçük ortak payda 8*9 = 72'dir.
- Kesirinizin paydalarından bir veya daha fazlasının değişkenleri varsa, bu işlem daha zordur, ancak yapılması mümkündür. Böyle bir durumda, en küçük ortak payda, diğer tüm paydalar tarafından bölünebilen bir denklemdir (değişkenli). Örneğin, 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) denkleminde, en küçük ortak payda 3x(x-1)'dir çünkü herhangi bir payda onu bölebilir – (x-1)'e bölmek 3x verir, 3x'e bölmek (x-1) verir ve x'e bölmek 3(x-1) verir.
Adım 3. Rasyonel denklemdeki her kesri 1 ile çarpın
Her parçayı 1 ile çarpmak işe yaramaz görünüyor. Ama işte hile. 1, 1 yazmanın doğru yolu olan -2/2 ve 3/3 gibi hem payda hem de paydada aynı olan herhangi bir sayı olarak tanımlanabilir. Bu yöntem alternatif tanımdan yararlanır. Rasyonel denkleminizdeki her kesri 1 ile çarpın, payda ile çarpıldığında en küçük ortak paydayı veren 1 sayısını yazın.
- Temel örneğimizde, 2x/6 elde etmek için x/3'ü 2/2 ile çarpacağız ve 3/6 elde etmek için 1/2'yi 3/3 ile çarpacağız. 2x + 1/6 zaten aynı en küçük paydaya sahip, yani 6, yani onu 1/1 ile çarpabilir veya olduğu gibi bırakabiliriz.
- Kesrin paydasında bir değişken bulunan örneğimizde, süreç biraz daha karmaşıktır. En küçük paydamız 3x(x-1) olduğundan, her rasyonel denklemi 3x(x-1) döndüren bir şeyle çarpıyoruz. 5/(x-1)'i (3x)/(3x) ile çarpacağız ki bu da 5(3x)/(3x)(x-1) verecek, 1/x'i 3(x-1)/3(x-) ile çarpacağız. 1) 3(x-1)/3x(x-1) verir ve 2/(3x)'i (x-1)/(x-1) ile çarparsak 2(x-1)/3x(x-1) verir).
Adım 4. Basitleştirin ve x'in değerini bulun
Şimdi, rasyonel denkleminizin her parçası aynı paydaya sahip olduğundan, paydayı denkleminizden çıkarabilir ve payı çözebilirsiniz. Pay değerini elde etmek için denklemin her iki tarafını da çarpın. Ardından, denklemin bir tarafında x'in (veya çözmek istediğiniz değişkenin) değerini bulmak için cebirsel işlemleri kullanın.
- Temel örneğimizde, tüm parçaları alternatif form 1 ile çarptıktan sonra 2x/6 + 3/6 = (3x+1)/6 elde ederiz. Paydaları aynıysa iki kesir eklenebilir, bu yüzden değeri değiştirmeden bu denklemi (2x+3)/6 = (3x+1)/6 olarak sadeleştirebiliriz. Paydayı çıkarmak için her iki tarafı 6 ile çarpın, böylece sonuç 2x+3 = 3x+1 olur. 2x+2 = 3x elde etmek için her iki taraftan 1 çıkarın ve 2 = x elde etmek için her iki taraftan 2x çıkarın, bu x = 2 olarak yazılabilir.
- Paydasında değişken olan örneğimizde, 1 ile çarptıktan sonraki denklemimiz 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1) olur.) /3x(x-1). Tüm parçaları aynı en küçük payda ile çarparak paydayı çıkarmamıza izin verirsek 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) olur. Bu aynı zamanda 5x = 3x - 3 + 2x -2 için de geçerlidir, bu da 15x = x - 5'i sadeleştirir. x'in her iki taraftan çıkarılması 14x = -5'i verir, bu da sonunda x = -5/14'e sadeleştirir.
İpuçları
- Değişkeni çözdüğünüzde, değişkenin değerini orijinal denkleme ekleyerek cevabınızı kontrol edin. Değişken değeriniz doğruysa, orijinal denkleminizi her zaman 1 = 1'e eşit olan basit bir ifadeye sadeleştirebilirsiniz.
- Herhangi bir polinomu rasyonel bir denklem olarak yazabileceğinizi unutmayın; payda 1'in üzerine koyun. Yani x+3 ve (x+3)/1 aynı değere sahiptir, ancak ikinci denklem kesir olarak yazıldığı için rasyonel bir denklem olarak sınıflandırılabilir.
