Her fonksiyonun bağımsız değişken ve bağımlı değişken olmak üzere iki değişkeni vardır. Kelimenin tam anlamıyla bağımlı değişkenin değeri, bağımsız değişkene "bağlıdır". Örneğin, y = f(x) = 2 x + y işlevinde, x bağımsız değişkendir ve y, bağımlı değişkendir (başka bir deyişle, y, x'in bir işlevidir). Bilinen x değişkeni için geçerli değerlere "menşe alanları" denir. Bilinen y değişkeni için geçerli değerlere “sonuç aralığı” denir.
Adım
Bölüm 1/3: Bir Fonksiyonun Etki Alanını Bulma
Adım 1. Ne tür bir işlev gerçekleştireceğinize karar verin
Fonksiyonun etki alanı, geçerli y değerleri döndürecek olan tüm x değerleridir (yatay eksen). Fonksiyonun denklemi ikinci dereceden, kesirli olabilir veya bir kök içerebilir. Fonksiyonun tanım kümesini hesaplamak için ilk yapmanız gereken denklemdeki değişkenleri incelemektir.
- İkinci dereceden bir işlev, ax biçimindedir2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4
- Kesirli fonksiyon örnekleri şunları içerir: f(x) = (1/x), f(x) = (x+1)/(x - 1), ve diğerleri.
- Kökleri olan fonksiyonlar şunları içerir: f(x) = x, f(x) = (x2 + 1), f(x) = -x, vb.
Adım 2. Etki alanını uygun gösterimle yazın
Bir fonksiyonun etki alanını yazmak, köşeli parantez [,] ve köşeli parantez (,) kullanmayı içerir. Sayı alana aitse köşeli parantez [,] kullanın ve alan adı sayıyı içermiyorsa parantez (,) kullanın. U harfi, etki alanının bir mesafeyle ayrılabilen kısımlarını birbirine bağlayan bir birliği belirtir.
- Örneğin, [-2, 10) U (10, 2] alanı -2 ve 2'yi içerir, ancak 10 sayısını içermez.
- Sonsuzluk sembolünü kullanıyorsanız her zaman parantez () kullanın.
Adım 3. İkinci dereceden denklemin bir grafiğini çizin
İkinci dereceden denklemler, yukarı veya aşağı açılan bir parabolik grafik üretir. Parabolün x ekseni üzerinde sonsuza kadar devam edeceği düşünüldüğünde, çoğu ikinci dereceden denklemin alanı tamamen gerçek sayılardır. Başka bir deyişle, ikinci dereceden bir denklem, sayı doğrusundaki tüm x değerlerini içerir ve etki alanını verir. r (tüm gerçek sayılar için sembol).
- Fonksiyonu çözmek için herhangi bir x değeri seçin ve fonksiyona girin. Bir fonksiyonu x-değeri ile çözmek, bir y-değeri döndürür. x ve y değerleri, fonksiyonun bir grafiğinin (x, y) koordinatlarıdır.
- Bu koordinatları bir grafiğe çizin ve işlemi başka bir x değeriyle tekrarlayın.
- Bu modeldeki bazı değerlerin çizilmesi, ikinci dereceden fonksiyonun şekline genel bir bakış sağlayacaktır.
Adım 4. Fonksiyonun denklemi bir kesir ise, paydayı sıfıra eşitleyin
Kesirlerle çalışırken asla sıfıra bölemezsiniz. Paydayı sıfıra eşitleyip x değerini bularak fonksiyondan çıkarılacak değerleri hesaplayabilirsiniz.
- Örneğin: f(x) = fonksiyonunun tanım kümesini belirleyin (x+1)/(x - 1).
- Fonksiyonun paydası (x - 1)'dir.
- Paydayı sıfıra eşitleyin ve x'in değerini hesaplayın: x – 1 = 0, x = 1.
- Etki alanını yazın: Fonksiyonun etki alanı 1'i içermez, 1 hariç tüm gerçek sayıları içerir; bu nedenle, etki alanı (-∞, 1) U(1,)'dir.
- (-∞, 1) U (1,) 1 hariç tüm reel sayıların toplamı olarak okunabilir. Sonsuzluk sembolü, tüm reel sayıları temsil eder. Bu durumda, 1'den büyük ve 1'den küçük tüm gerçek sayılar etki alanına dahil edilir.
Adım 5. Denklem bir kök fonksiyon ise, kök değişkenleri sıfırdan büyük veya sıfıra eşit yapın
Negatif bir sayının karekökünü kullanamazsınız; bu nedenle, negatif bir sayıya yol açan herhangi bir x değeri, işlevin etki alanından kaldırılmalıdır.
- Örneğin: f(x) = (x + 3) fonksiyonunun tanım kümesini bulun.
- Kökteki değişkenler (x + 3)'tür.
- Değeri sıfırdan büyük veya sıfıra eşit yapın: (x + 3) 0.
- x için değeri hesaplayın: x -3. x için çözün: x -3.
- Fonksiyonun alanı, -3'e eşit veya daha büyük tüm gerçek sayıları içerir; bu nedenle, etki alanı [-3,).
Bölüm 2/3: İkinci Dereceden Bir Denklemin Aralığını Bulma
Adım 1. İkinci dereceden bir işleve sahip olduğunuzdan emin olun
İkinci dereceden işlev, ax biçimindedir2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4. İkinci dereceden fonksiyonun grafiği yukarı veya aşağı açılan bir paraboldür. Üzerinde çalıştığınız işlevin türüne bağlı olarak işlevin aralığını hesaplamanın farklı yolları vardır.
Kök işlevi veya kesir işlevi gibi diğer işlevlerin aralığını belirlemenin en kolay yolu, bir grafik hesap makinesi kullanarak işlevin grafiğini çizmektir
Adım 2. Fonksiyonun tepe noktasının x değerini bulun
İkinci dereceden bir fonksiyonun tepe noktası, parabolün tepe noktasıdır. İkinci dereceden fonksiyonun biçiminin ax olduğunu unutmayın.2 + bx + c. x koordinatını bulmak için x = -b/2a denklemini kullanın. Denklem, sıfır eğimli/eğimli bir denklemi temsil eden temel bir ikinci dereceden fonksiyonun türevidir (grafiğin tepe noktasında, fonksiyonun gradyanı sıfırdır).
- Örneğin, 3x aralığını bulun2 + 6x -2.
- Köşenin x koordinatını hesaplayın: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Adım 3. Fonksiyonun tepe noktasının y değerini hesaplayın
Köşenin karşılık gelen y-değerini hesaplamak için x-koordinatını fonksiyona takın. Bu y değeri, fonksiyonun aralığının sınırını gösterir.
- y koordinatını hesaplayın: y = 3x2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Bu fonksiyonun tepe noktası (-1, -5)'tir.
Adım 4. En az bir tane daha x değeri ekleyerek parabolün yönünü belirleyin
Başka herhangi bir x değeri seçin ve uygun y değerini hesaplamak için onu fonksiyona takın. Y değeri tepe noktasının üzerindeyse, parabol +∞'ye devam eder. Y değeri tepe noktasının altındaysa, parabol -∞'ye devam edecektir.
- x-değeri -2'yi kullanın: y = 3x2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Bu hesaplama (-2, -2) koordinatlarını döndürür.
- Bu koordinatlar size parabolün tepe noktasının (-1, -5) üzerinde devam ettiğini gösterir; bu nedenle, aralık -5'ten yüksek tüm y değerlerini içerir.
- Bu işlevin aralığı [-5,).
Adım 5. Aralığı uygun notasyonla yazın
Etki alanları gibi, aralıklar da aynı gösterimle yazılır. Sayı aralık içindeyse köşeli parantez [,] kullanın ve aralık sayıyı içermiyorsa parantez (,) kullanın. U harfi, aralığın bir mesafeyle ayrılabilecek kısımlarını birbirine bağlayan bir birliği belirtir.
- Örneğin, [-2, 10) U (10, 2] aralığı -2 ve 2'yi içerir, ancak 10 sayısını içermez.
- Sonsuzluk sembolünü kullanıyorsanız her zaman parantez kullanın.
Bölüm 3/3: Bir Fonksiyonun Grafiğinden Aralığı Bulma
Adım 1. Fonksiyonu çizin
Çoğu zaman, bir fonksiyonun aralığını belirlemenin en kolay yolu, onun grafiğini çizmektir. Birçok kök fonksiyonunun bir aralığı (-∞, 0] veya [0, +∞) vardır çünkü yatay parabolün (yan parabol) tepe noktası yatay x ekseni üzerindedir. Bu durumda fonksiyon, parabol açılırsa tüm pozitif y değerlerini, parabol aşağı doğru açılırsa tüm negatif y değerlerini içerir. Kesirli fonksiyonlar, fonksiyonun aralığını tanımlayan asimptotlara (asla bir doğru/eğri tarafından kesilmeyen ancak sonsuza yaklaşan doğrular) sahip olacaktır.
- Bazı kök işlevler, x ekseninin üstünde veya altında başlayacaktır. Bu durumda, aralık, kök işlevinin başladığı sayı ile belirlenir. Parabol y = -4'te başlar ve yükselirse, aralık [-4, +∞) olur.
- Bir fonksiyon çizmenin en kolay yolu, bir grafik programı veya grafik hesap makinesi kullanmaktır.
- Bir grafik hesap makineniz yoksa, x değerini fonksiyona takıp uygun y değerini alarak grafiğin kaba bir taslağını çizebilirsiniz. Grafiğin neye benzediği hakkında bir fikir edinmek için bu koordinatları bir grafik üzerine çizin.
Adım 2. Fonksiyonun minimum değerini bulun
Fonksiyonu çizdikten hemen sonra grafiğin en alt noktasını net bir şekilde görebilmeniz gerekir. Net bir minimum değer yoksa, bazı fonksiyonların -∞'de (sonsuz) devam edeceğini bilin.
Bir kesir işlevi, asimptotlar dışındaki tüm noktaları içerecektir. Fonksiyonun (-∞, 6) U (6,) gibi bir aralığı vardır
Adım 3. Fonksiyonun maksimum değerini belirleyin
Yine grafiği çizdikten sonra fonksiyonun maksimum noktasını tanımlayabilmelisiniz. Bazı fonksiyonlar +∞'de devam edecek ve bu nedenle minimum bir değere sahip olmayacak.
Adım 4. Aralığı uygun notasyonla yazın
Etki alanları gibi, aralıklar da aynı gösterimle yazılır. Sayı aralık içindeyse köşeli parantez [,] kullanın ve aralık sayıyı içermiyorsa parantez (,) kullanın. U harfi, aralığın bir mesafeyle ayrılabilecek kısımlarını birbirine bağlayan bir birliği belirtir.
- Örneğin, [-2, 10) U (10, 2] aralığı -2 ve 2'yi içerir, ancak 10 sayısını içermez.
- Sonsuzluk sembolünü kullanıyorsanız her zaman parantez kullanın.
