Bir polinom, derece olarak bilinen bir güce sahip bir değişken (x) ve birkaç terim ve/veya sabit içerir. Bir polinomu çarpanlara ayırmak, denklemi çarpılabilen daha basit denklemlere bölmek demektir. Bu beceri Cebir 1 ve üzeridir ve matematik becerileriniz bu seviyede değilse kavraması zor olabilir.
Adım
Başlangıç
Adım 1. Denkleminizi kurun
İkinci dereceden bir denklem için standart format:
balta2 + bx + c = 0
Tıpkı bu standart formatta olduğu gibi, denkleminizdeki terimleri en yüksekten en düşüğe doğru sıralayarak başlayın. Örneğin:
6 + 6x2 + 13x = 0
Bu denklemi yeniden düzenleyeceğiz, böylece terimleri basitçe hareket ettirerek çalışmak daha kolay olacaktır:
6x2 + 13x + 6 = 0
Adım 2. Aşağıdaki yöntemlerden birini kullanarak form faktörünü bulun
Polinomu çarpanlara ayırmak, orijinal polinomu üretmek için çarpılabilen iki basit denklemle sonuçlanır:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
Bu örnekte (2x + 3) ve (3x + 2) orijinal denklemin çarpanlarıdır, 6x2 +13x+6.
Adım 3. Çalışmanızı kontrol edin
Sahip olduğunuz faktörleri çarpın. Ardından, benzer terimleri birleştirin ve işiniz bitti. İle başla:
(2x + 3)(3x + 2)
PLDT (ilk – dış – iç – son) kullanarak terimleri çarpmayı deneyelim, sonuç olarak:
6x2 + 4x + 9x + 6
Buradan 4x ve 9x'i toplayabiliriz çünkü bunlar terimler gibidir. Orijinal denklemimizi elde ettiğimiz için çarpanlarımızın doğru olduğunu biliyoruz:
6x2 + 13x + 6
Yöntem 1/6: Deneme ve Hata
Oldukça basit bir polinomunuz varsa, sadece onlara bakarak faktörleri kendiniz bulabilirsiniz. Örneğin, uygulamadan sonra birçok matematikçi denklemin 4x olduğunu anlayabilir.2 + 4x + 1, sadece sık sık bakarak (2x + 1) ve (2x + 1) çarpanlarına sahiptir. (Bu elbette daha karmaşık polinomlar için kolay olmayacaktır). Bu örnek için, daha az kullanılan bir denklem kullanalım:
3x2 + 2x - 8
Adım 1. a ve c terimlerinin faktörlerinin bir listesini yazın
Balta denklem biçimini kullanma2 + bx + c = 0, a ve c terimlerini tanımlayın ve her iki terimin de sahip olduğu çarpanları yazın. 3x için2 + 2x - 8, anlamı:
a = 3 ve bir dizi faktöre sahiptir: 1 * 3
c = -8 ve dört faktör grubuna sahiptir: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ve -1 * 8.
Adım 2. Boşlukları olan iki parantez takımı yazın
Oluşturduğunuz boşlukları her denklem için sabitlerle dolduracaksınız:
(x)(x)
Adım 3. x'in önündeki boşlukları a değeri için olası faktör çiftleriyle doldurun
Örneğimizdeki a terimi için 3x2, örneğimiz için tek bir olasılık var:
(3x)(1x)
Adım 4. x'ten sonraki iki boşluğu sabit için faktör çiftleriyle doldurun
8 ve 1'i seçtiğimizi varsayalım. İçlerine şunu yazın:
(3x
Adım 8.)(
Aşama 1
Adım 5. x değişkeni ile sayı arasındaki işareti (artı veya eksi) belirleyin
Orijinal denklemdeki işaretlere bağlı olarak, sabitler için işaret aramak mümkün olabilir. İki faktörümüz için iki sabite h ve k adını verdiğimizi varsayalım:
balta ise2 + bx + c sonra (x + h)(x + k)
balta ise2 - bx - c veya balta2 + bx - c sonra (x - h)(x + k)
balta ise2 - bx + c sonra (x - h)(x - k)
Örneğimiz için, 3x2 + 2x - 8, işaretler:(x - h)(x + k), bize iki çarpan verir:
(3x + 8) ve (x - 1)
Adım 6. Sondan ilk çıkan çarpma (PLDT) kullanarak seçimlerinizi test edin
İlk hızlı test, orta terimin en azından doğru değere sahip olup olmadığını görmektir. Değilse, yanlış c faktörlerini seçmiş olabilirsiniz. Cevabımızı test edelim:
(3x + 8)(x - 1)
Çarpma ile şunu elde ederiz:
3x2 - 3x + 8x - 8
Bu denklemi (-3x) ve (8x) benzer terimleri ekleyerek sadeleştirirsek, şunu elde ederiz:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Artık yanlış faktörleri kullanmış olmamız gerektiğini biliyoruz:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Adım 7. Gerekirse seçiminizi değiştirin
Örneğimizde, 1 ve 8 yerine 2 ve 4'ü deneyelim:
(3x + 2)(x - 4)
Şimdi c terimimiz -8, ancak dış/iç çarpımımız (3x * -4) ve (2 * x) -12x ve 2x'tir, bu bir araya geldiğinde doğru b +2x terimini üretmeyecektir.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Adım 8. Gerekirse sırayı tersine çevirin
2 ve 4'ü değiştirmeyi deneyelim:
(3x + 4)(x - 2)
Şimdi, c terimimiz (4 * 2 = 8) doğrudur, ancak dış/iç çarpım -6x ve 4x'tir. Bunları birleştirirsek:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Aradığımız 2x'e oldukça yakınız ama işaret yanlış.
Adım 9. Gerekirse etiketlerinizi iki kez kontrol edin
Aynı sırayı kullanacağız, ancak eksi işaretli denklemleri değiştireceğiz:
(3x - 4)(x + 2)
Şimdi c terimi sorun değil ve mevcut dış/iç çarpım (6x) ve (-4x). Çünkü:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Şimdi orijinal problemden pozitif 2x kullanabiliriz. Bunlar doğru faktörler olmalıdır.
Yöntem 2/6: Ayrıştırma
Bu yöntem, a ve c terimlerinin tüm olası faktörlerini belirleyecek ve bunları doğru faktörleri bulmak için kullanacaktır. Rakamlar çok büyükse veya tahmin etmek zaman alıyorsa, bu yöntemi kullanın. Bir örnek kullanalım:
6x2 + 13x + 6
Adım 1. a terimini c terimiyle çarpın
Bu örnekte, a 6'dır ve c de 6'dır.
6 * 6 = 36
Adım 2. Faktoring ve test ederek b terimini alın
Belirlediğimiz a * c çarpımının çarpanları olan ve aynı zamanda b (13) terimini toplayan iki sayı arıyoruz.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Adım 3. B teriminin eklenmesi sonucunda elde ettiğiniz iki sayıyı denkleminize koyun
Sahip olduğumuz iki sayıyı temsil etmek için k ve h kullanalım, 4 ve 9:
balta2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Adım 4. Polinomu gruplandırarak çarpanlarına ayırın
Denklemleri, hem birinci hem de ikinci terimlerin en büyük ortak çarpanını alacak şekilde düzenleyin. Faktör grubu aynı olmalıdır. En Büyük Ortak Çarpanı ekleyin ve çarpan grubunun yanına parantez içine koyun; sonuç, iki faktörünüzdür:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2)
Yöntem 3/6: Üçlü Oyun
Ayrıştırma yöntemine benzer şekilde, üçlü oynatma yöntemi, a ve c terimlerini çarpmanın ve b değerini kullanmanın olası faktörlerini inceler. Bu örnek denklemi kullanmayı deneyin:
8x2 + 10x + 2
Adım 1. a terimini c terimiyle çarpın
Ayrıştırma yöntemi gibi, bu da b terimi için adayları belirlememize yardımcı olacaktır. Bu örnekte, a 8 ve c 2'dir.
8 * 2 = 16
Adım 2. Sayılarla çarpıldığında, toplam toplamı b terimine eşit olan bu sayıyı veren iki sayı bulun
Bu adım ayrıştırma ile aynıdır – sabit için adayları test eder ve atarız. a ve c terimlerinin çarpımı 16'dır ve c terimi 10'dur:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Adım 3. Bu iki sayıyı alın ve üçlü oynatma formülüne takarak test edin
Önceki adımdaki iki numaramızı alın – bunlara h ve k diyelim – ve bunları denkleme yerleştirin:
((balta + h)(balta + k))/ a
Alacağız:
((8x + 8)(8x + 2)) / 8
Adım 4. Paydaki iki terimden herhangi birinin a ile bölünebildiğine dikkat edin
Bu örnekte, (8x + 8) veya (8x + 2)'nin 8'e bölünebildiğini gördük (8x + 8) 8'e bölünebilir, bu yüzden bu terimi a'ya böleceğiz ve diğer çarpanları olduğu gibi bırakacağız.
(8x + 8) = 8(x + 1)
Burada parantez içindeki terim, a terimine böldükten sonra kalandır.
Adım 5. Varsa, bir veya her iki terimin en büyük ortak çarpanını (GCF) alın
Bu örnekte, ikinci terimin GCF'si 2'dir, çünkü 8x + 2 = 2(4x + 1). Bu sonucu önceki adımdan elde ettiğiniz terimle birleştirin. Bunlar denkleminizdeki faktörlerdir.
2(x + 1)(4x + 1)
Yöntem 4/6: Kareköklerin Farkı
Polinomlardaki bazı katsayılar 'kareler' veya iki sayının çarpımı olabilir. Bu kareleri belirlemek, birden çok polinomu daha hızlı çarpanlara ayırmanıza olanak tanır. Bu denklemi deneyin:
27x2 - 12 = 0
Adım 1. Mümkünse en büyük ortak çarpanı çıkarın
Bu durumda, 27 ve 12'nin 3'e bölünebildiğini görebiliriz, dolayısıyla şunu elde ederiz:
27x2 - 12 = 3(9x2 - 4)
Adım 2. Denkleminizin katsayılarının kare sayılar olup olmadığını belirleyin
Bu yöntemi kullanmak için her iki terimin de karekökünü alabilmeniz gerekir. (Negatif işareti görmezden geleceğimize dikkat edin - bu sayılar kareler olduğundan, iki pozitif veya negatif sayının ürünü olabilirler)
9x2 = 3x * 3x ve 4 = 2 * 2
Adım 3. Elde ettiğiniz karekökü kullanarak faktörleri yazın
Yukarıdaki adımımızdan a ve c değerlerini alacağız - a = 9 ve c = 4, sonra karekök - a = 3 ve c = 2'yi bulacağız. Sonuç, faktör denkleminin katsayısıdır:
27x2 - 12 = 3(9x2 - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)
Yöntem 5/6: İkinci Dereceden Formül
Diğer her şey başarısız olursa ve denklem bütün olarak çarpanlara ayrılamazsa, ikinci dereceden formülü kullanın. Bu örneği deneyin:
x2 + 4x + 1 = 0
Adım 1. İkinci dereceden formülde gerekli değerleri girin:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Denklemi elde ederiz:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Adım 2. x'in değerini bulun
İki değer elde edeceksiniz. Yukarıda gösterildiği gibi, iki cevap alıyoruz:
x = -2 + (3) veya x = -2 - (3)
Adım 3. Faktörleri bulmak için x-değerinizi kullanın
Elde ettiğiniz x değerlerini iki polinom denklemine sabit olarak yerleştirin. Sonuç sizin faktörlerinizdir. Cevaplarımızı h ve k olarak adlandırırsak, iki faktörü aşağıdaki gibi yazarız:
(x - h)(x - k)
Bu örnekte, son cevabımız:
(x - (-2 + (3))(x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3))(x + 2 + (3))
Yöntem 6/6: Hesap Makinesini Kullanma
Bir hesap makinesi kullanmanıza izin verilirse, bir grafik hesap makinesi, özellikle standart testler için faktoring işlemini çok daha kolay hale getirir. Bu talimatlar TI grafik hesaplayıcı içindir. Örnek bir denklem kullanacağız:
y = x2 x 2
Adım 1. Denkleminizi hesap makinesine girin
Ekranda [Y =] yazan denklemin faktoringini kullanacaksınız.
Adım 2. Hesap makinenizi kullanarak denkleminizi çizin
Denkleminizi girdiğinizde, [GRAPH] tuşuna basın – denkleminizi temsil eden düzgün bir eğri göreceksiniz (ve şekil bir eğridir çünkü polinomlar kullanıyoruz).
Adım 3. Eğrinin x ekseni ile kesiştiği yeri bulun
Polinom denklemleri genellikle ax olarak yazıldığından2 + bx + c = 0, bu kesişim x'in denklemin sıfır olmasına neden olan ikinci değeridir:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Grafiğin x ekseniyle nerede kesiştiğini ona bakarak belirleyemiyorsanız, [2.]'ye ve ardından [İZLE]'ye basın. [2] tuşuna basın veya sıfırı seçin. İmleci kavşağın soluna hareket ettirin ve [ENTER]'a basın. İmleci kavşağın sağına getirin ve [ENTER]'a basın. İmleci kavşağa mümkün olduğunca yaklaştırın ve [ENTER]'a basın. Hesap makinesi x'in değerini bulacaktır. Bunu diğer kavşaklar için de yapın
Adım 4. Bir önceki adımdan elde edilen x değerini iki faktörlü denkleme yerleştirin
Her iki x değerimizi de h ve k olarak adlandırsaydık, kullanacağımız denklemler şöyle olurdu:
(x - h)(x - k) = 0
Böylece, iki faktörümüz:
(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2)
İpuçları
- Bir TI-84 hesap makineniz (grafik) varsa, ikinci dereceden denklemlerinizi çözecek SOLVER adlı bir program vardır. Bu program herhangi bir derecede polinomları çözecektir.
- Bir terim yazılmamışsa katsayı 0'dır. Bu durumda denklemi yeniden yazmakta fayda var, örneğin: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Polinomunuzu ikinci dereceden bir formül kullanarak çarpanlarına ayırdıysanız ve cevabı kök cinsinden aldıysanız, kontrol etmek için x'in değerini bir kesire dönüştürmek isteyebilirsiniz.
- Bir terimin yazılı katsayısı yoksa katsayı 1'dir, örneğin: x2 = 1x2.
- Yeterli alıştırmadan sonra, sonunda polinomları kafanızda çarpanlara ayırabileceksiniz. Bunu yapana kadar, her zaman nasıl yapılır'ı yazdığınızdan emin olun.
