Cebirsel Denklemleri Çarpan Etmenin 3 Yolu

2024 Yazar: Jason Gerald | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-15 08:25

Matematikte, faktoring çarpıldığında belirli bir sayı veya denklem üretecek sayıları veya ifadeleri bulmanın bir yoludur. Faktoring, basit cebir problemlerini çözmeyi öğrenmek için yararlı bir beceridir; İyi çarpanlara ayırma yeteneği, ikinci dereceden denklemler ve diğer polinom biçimleriyle uğraşırken önemli hale gelir. Faktoring, çözümlerini kolaylaştırmak için cebirsel ifadeleri basitleştirmek için kullanılabilir. Faktoring, belirli olası yanıtları manuel olarak çözmekten çok daha hızlı bir şekilde ortadan kaldırma yeteneği bile verebilir.

Adım

Yöntem 1/3: Sayıları Çarpanlara Ayırma ve Basit Cebirsel İfadeler

Adım 1. Tek sayılara uygulandığında çarpanlara ayırmanın tanımını anlayın

Faktoring basit bir kavramdır, ancak pratikte karmaşık denklemlere uygulandığında zorlayıcı olabilir. Bu nedenle, daha karmaşık uygulamalara geçmeden önce basit sayılarla başlayıp daha sonra basit denklemlere geçerek faktoring kavramına yaklaşmak en kolay yoldur. Bir sayının çarpanları çarpıldığında o sayıyı veren sayılardır. Örneğin, 12'nin çarpanları 1, 12, 2, 6, 3 ve 4'tür, çünkü 1 × 12, 2 × 6 ve 3 × 4, 12'ye eşittir.

• Bunu düşünmenin başka bir yolu da, bir sayının çarpanlarının sayıya eşit olarak bölünebilen sayılar olmasıdır.

• 60 sayısının tüm çarpanlarını bulabilir misiniz? 60 sayısını çeşitli amaçlar için kullanırız (saatte dakika, dakikadaki saniye vb.), çünkü oldukça fazla sayıda başka sayıya bölünebilir.

  60'ın çarpanları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır

Adım 2. Değişken ifadelerinin de çarpanlara ayrılabileceğini anlayın

Sayıların kendileri çarpanlarına ayrılabileceği gibi, sayı katsayıları olan değişkenler de çarpanlarına ayrılabilir. Bunu yapmak için, sadece değişken katsayıların faktörlerini bulun. Bir değişkenin nasıl faktörlendirileceğini bilmek, o değişkeni içeren cebirsel denklemleri basitleştirmek için çok yararlıdır.

• Örneğin, 12x değişkeni, 12 ve x faktörlerinin çarpımı olarak yazılabilir. 12x'i 3(4x), 2(6x), vb. olarak yazabiliriz, amacımız için en uygun 12 çarpanını kullanarak.

  Hatta 12x'i birden çok kez çarpanlarına ayırabiliriz. Başka bir deyişle, 3(4x) veya 2(6x)'te durmamız gerekmiyor – 3(2(2x) ve 2(3(2x) üretmek için 4x ve 6x'i çarpanlarına ayırabiliriz. Tabii ki bu iki ifade eşdeğerdir

Adım 3. Çarpmanın dağılma özelliğini faktör cebirsel denklemlerine uygulayın

Hem tek sayıları hem de değişkenleri katsayılarla nasıl çarpanlarına ayıracağınız konusundaki bilginizi kullanarak, cebirsel denklemlerde sayıların ve değişkenlerin paylaştığı faktörleri bularak basit cebirsel denklemleri basitleştirebilirsiniz. Genellikle, bir denklemi basitleştirmek için en büyük ortak faktörü bulmaya çalışırız. Bu sadeleştirme işlemi, herhangi bir a, b ve c sayısı için geçerli olan çarpmanın dağılma özelliği nedeniyle mümkündür. a(b + c) = ab + ac.

• Örnek bir soru deneyelim. 12x + 6 cebirsel denklemini çarpanlarına ayırmak için önce, 12x ve 6'nın en büyük ortak çarpanını bulmaya çalışalım. 6, 12x ve 6'yı eşit olarak bölebilen en büyük sayıdır, böylece denklemi 6(2x + 1) olarak sadeleştirebiliriz..
• Bu işlem aynı zamanda negatif sayılar ve kesirler içeren denklemler için de geçerlidir. Örneğin, x/2 + 4, 1/2(x + 8) olarak sadeleştirilebilir ve -7x + -21, -7(x + 3) olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Yöntem 2/3: İkinci Dereceden Denklemleri Çarpanlara Ayırma

Adım 1. Denklemin ikinci dereceden formda olduğundan emin olun (ax² + bx + c = 0).

İkinci dereceden denklemler ax biçimindedir² + bx + c = 0, burada a, b ve c sayı sabitleridir ve 0'a eşit değildir (a'nın 1 veya -1'e eşit olabileceğini unutmayın). Bir değişkeni (x) olan ve bir terimi x üzeri iki veya daha fazla olan bir denkleminiz varsa, eşittir işareti ve ax'in her iki tarafında 0 elde etmek için genellikle bu terimleri denklemde basit cebirsel işlemler kullanarak hareket ettirirsiniz.², vesaire. diğer tarafta.

• Örneğin, cebirsel bir denklem düşünelim. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18, x'e basitleştirilebilir² + 6x + 9 = 0, kare formdur.
• x gibi daha büyük x kuvvetine sahip denklemler³, x⁴, vesaire. ikinci dereceden denklemler değildir. Bu denklemler, kübik denklemlerdir, dördüncü güce vb., denklem bu x terimlerini 2'den büyük güçlerle çıkarmak için basitleştirilemediği sürece, böyle devam eder.

Adım 2. a = 1 olan ikinci dereceden bir denklemde, (x+d)(x+e) çarpanlarına ayırın, burada d × e = c ve d + e = b

İkinci dereceden denkleminiz x biçimindeyse² + bx + c = 0 (başka bir deyişle, x teriminin katsayısı ise² = 1), denklemi çarpanlara ayırmak için oldukça kolay bir steno yönteminin kullanılabilmesi mümkündür (ancak garanti edilmez). Çarpıldığında c veren iki sayı bulun ve b üretmek için eklendi. Bu iki sayı d ve e'yi aradıktan sonra, bunları aşağıdaki ifadeye yerleştirin: (x+d)(x+e). Bu iki terim çarpıldığında size ikinci dereceden denkleminizi verir - başka bir deyişle, bunlar ikinci dereceden denkleminizin faktörleridir.

• Örneğin, ikinci dereceden x denklemini düşünelim² + 5x + 6 = 0, 3 ve 2 çarpılarak 6 elde edilir ve ayrıca 5 elde etmek için toplanır, böylece bu denklemi (x + 3)(x + 2) olarak sadeleştirebiliriz.

• Bu temel stenografi yöntemindeki küçük fark, benzerliklerin kendisindeki farklılıklarda yatmaktadır:

  • İkinci dereceden denklem x biçimindeyse²-bx+c, cevabınız şu şekilde: (x - _)(x - _).
  • Denklem x şeklinde ise²+bx+c, cevabınız şuna benziyor: (x + _)(x + _).
  • Denklem x şeklinde ise²-bx-c, cevabınız (x + _)(x - _) biçimindedir.
• Not: Boşluklardaki sayılar kesirli veya ondalıklı olabilir. Örneğin, denklem x² + (21/2)x + 5 = 0, (x + 10)(x + 1/2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.

Adım 3. Mümkünse, kontrolleri dikkate alın

İster inanın ister inanmayın, karmaşık olmayan ikinci dereceden denklemler için izin verilen çarpanlara ayırma yöntemlerinden biri, sorunu incelemek ve ardından doğru yanıtı bulana kadar olası yanıtları düşünmektir. Bu yöntem, inceleme yoluyla faktoring olarak da bilinir. Denklem ax biçimindeyse²+bx+c ve a>1, faktör cevabınız (dx +/- _)(ex +/- _) biçimindedir; burada d ve e, çarpıldığında a veren sıfır olmayan sayıların sabitleridir. Ne d ne de e (veya her ikisi) olmak zorunda olmasa da 1 olamaz. Her ikisi de 1 ise, temelde yukarıda açıklanan stenografi yöntemini kullanıyorsunuz.

Örnek bir problem düşünelim. 3x² - 8x + 4 ilk başta zor görünüyor. Ancak, 3'ün sadece iki çarpanı (3 ve 1) olduğunu fark ettiğimizde, bu denklem daha kolay hale gelir çünkü cevabımızın (3x +/- _)(x +/- _) biçiminde olması gerektiğini biliyoruz. Bu durumda her iki boşluğa da -2 eklemek doğru cevabı verir. -2 × 3x = -6x ve -2 × x = -2x. -6x ve -2x, -8x'e kadar eklenir. -2 × -2 = 4, böylece parantez içinde çarpanlara ayrılan terimlerin çarpıldığında orijinal denklemi ürettiğini görebiliriz.

Adım 4. Kareyi tamamlayarak çözün

Bazı durumlarda, ikinci dereceden denklemler özel cebirsel kimlikler kullanılarak hızlı ve kolay bir şekilde çarpanlarına ayrılabilir. x biçiminde herhangi bir ikinci dereceden denklem² + 2xh + sa² = (x + h)². Yani denkleminizde b değeriniz c değerinizin karekökünün iki katıysa, denkleminiz (x + (kök(c))) çarpanlarına ayrılabilir.².

Örneğin, denklem x² +6x+9 bu şekle sahiptir. 3² 9'dur ve 3 × 2 6'dır. Yani, bu denklemin faktör formunun (x + 3)(x + 3) veya (x + 3) olduğunu biliyoruz.².

Adım 5. İkinci dereceden denklemleri çözmek için faktörleri kullanın

İkinci dereceden denkleminizi nasıl çarpanlarına ayırdığınıza bakılmaksızın, denklem bir kez çarpanlarına alındığında, her bir faktörü sıfıra eşitleyerek ve çözerek x değerine olası cevapları bulabilirsiniz. Denkleminizi sıfıra eşitleyen x değerini aradığınıza göre, herhangi bir faktörü sıfıra eşitleyen x değeri, ikinci dereceden denkleminize olası bir cevaptır.

x denklemine geri dönelim² + 5x + 6 = 0. Bu denklem (x + 3)(x + 2) = 0 şeklinde çarpanlara ayrılır. Faktörlerden herhangi biri 0'a eşitse, tüm denklemler 0'a eşittir, dolayısıyla x için olası yanıtlarımız sayılardır - (x + 3) ve (x + 2) 0'a eşittir. Bu sayılar sırasıyla -3 ve -2'dir.

Adım 6. Cevaplarınızı kontrol edin – bazı cevaplar yanıltıcı olabilir

x için olası yanıtları bulduğunuzda, yanıtın doğru olup olmadığını görmek için bunları orijinal denkleminize geri takın. Bazen bulduğunuz cevaplar yeniden girildiğinde orijinal denklemi sıfıra eşit yapmaz. Bu cevaba sapkın diyoruz ve görmezden geliyoruz.

• -2 ve -3'ü x'e koyalım² + 5x + 6 = 0. İlk olarak, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Bu cevap doğrudur, yani -2 doğru cevaptır.

• Şimdi -3'ü deneyelim:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Bu cevap da doğrudur, yani -3 doğru cevaptır.

Yöntem 3/3: Diğer Denklemleri Çarpanlara Ayırma

Adım 1. Denklem a şeklinde ifade edilirse²-B², (a+b)(a-b)'ye çarpanlarına ayırın.

İki değişkenli denklemler, temel ikinci dereceden denklemden farklı faktörlere sahiptir. a denklemi için²-B² a ve b'nin 0'a eşit olmadığı herhangi bir şey, denklemin faktörleri (a+b)(a-b)'dir.

Örneğin, denklem 9x² - 4y² = (3x + 2y)(3x - 2y).

Adım 2. Denklem a şeklinde ifade edilirse²+2ab+b², çarpan (a+b)².

Dikkat edin, eğer üç terimli a biçimindeyse²-2ab+b², form faktörleri biraz farklıdır: (a-b)².

4x denklemi² + 8xy + 4y² 4x olarak yeniden yazılabilir² + (2 × 2 × 2)xy + 4y². Şimdi, formun doğru olduğunu görebiliyoruz, böylece denklemimizin çarpanlarının (2x + 2y) olduğundan emin olabiliriz.²

Adım 3. Denklem a şeklinde ifade edilirse³-B³, (a-b)(a) çarpanına²+ab+b²).

Son olarak, çarpanlara ayırma işlemi hızla çok karmaşık hale gelse de, kübik denklemlerin ve hatta daha yüksek güçlerin çarpanlara ayrılabileceğinden daha önce bahsedilmiştir.

Örneğin, 8x³ - 27 yaşında³ (2x - 3y)(4x) şeklinde çarpanlara ayrıldı² + ((2x)(3y)) + 9y²)

İpuçları

• a²-B² çarpanlara ayrılabilir, bir²+b² faktör olamaz.
• Bir sabiti nasıl çarpanlarına ayıracağınızı unutmayın. Bu yardımcı olabilir.
• Faktoring işleminde kesirlere dikkat edin, kesirlerle doğru ve dikkatli çalışın.
• Eğer x biçiminde bir üçlü terime sahipseniz²+bx+ (b/2)², form faktörü (x+(b/2))². (Meydanı tamamlarken bu durumla karşılaşabilirsiniz.)
• a0=0 (sıfırın çarpımının özelliği) olduğunu unutmayın.