Kübik Denklemleri Çözmenin 3 Yolu

2024 Yazar: Jason Gerald | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-16 20:04

Kübik denklemi (balta biçiminde olan) ilk bulduğunuzda ³ + bx ² + cx + d = 0), belki sorunun çözülmesinin zor olacağını düşünüyorsunuz. Ancak kübik denklemleri çözmenin aslında yüzyıllardır var olduğunu bilin! 1500'lü yıllarda İtalyan matematikçiler Niccolò Tartaglia ve Gerolamo Cardano tarafından keşfedilen bu çözüm, antik Yunan ve Roma'da bilinen ilk formüllerden biridir. Kübik denklemleri çözmek biraz zor olabilir, ancak doğru yaklaşımla (ve yeterli bilgiyle) en zor kübik denklemler bile çözülebilir.

Adım

Yöntem 1/3: İkinci Dereceden Denklemleri Kullanarak Çözme

Adım 1. Kübik denkleminizin bir sabiti olup olmadığını kontrol edin

Yukarıda belirtildiği gibi, kübik denklemin formu ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c ve d değeri bu kübik denklemin şeklini etkilemeden 0 olabilir; bu temelde kübik denklemin her zaman bx değerini içermesi gerekmediği anlamına gelir. ², cx veya d bir kübik denklem olsun. Kübik denklemleri çözmenin bu oldukça kolay yolunu kullanmaya başlamak için, kübik denkleminizin bir sabiti (veya d değeri) olup olmadığını kontrol edin. Denkleminizin d için bir sabiti veya değeri yoksa, birkaç adımdan sonra kübik denklemin cevabını bulmak için ikinci dereceden bir denklem kullanabilirsiniz.

Öte yandan, denkleminiz sabit bir değere sahipse, başka bir çözüme ihtiyacınız olacaktır. Diğer yaklaşımlar için aşağıdaki adımlara bakın

Adım 2. Kübik denklemden x değerini çarpanlarına ayırın

Denkleminizin sabit bir değeri olmadığından, içindeki tüm bileşenler x değişkenine sahiptir. Bu, bu x değerinin basitleştirmek için denklemden çıkarılabileceği anlamına gelir. Bu adımı yapın ve kübik denkleminizi x (ax) biçiminde yeniden yazın. ² + bx + c).

Örneğin, buradaki orijinal kübik denklemin 3 x olduğunu varsayalım. ³ + -2x ² + 14 x = 0. Bu denklemden bir x değişkenini çarpanlarına ayırarak denklemi elde ederiz. x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Adım 3. Parantez içindeki denklemleri çözmek için ikinci dereceden denklemleri kullanın

Parantez içinde verilen bazı yeni denklemlerinizin ikinci dereceden bir denklem (ax) şeklinde olduğunu fark edebilirsiniz. ² + bx + c). Bu, a, b ve c'yi ikinci dereceden denklem formülüne ({- b +/-√ (b) ekleyerek bu denklemi sıfıra eşitlemek için gereken değeri bulabileceğimiz anlamına gelir. ²- 4 ac)}/2a). Kübik denkleminize iki cevap bulmak için bu hesaplamaları yapın.

• Örneğimizde, a, b ve c (sırasıyla 3, -2 ve 14) değerlerini ikinci dereceden denkleme aşağıdaki gibi takın:

  {- b +/-√ (b) ²- 4 ac)}/2 bir

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Cevap 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 ben }/6

• Cevap 2:

  {2 - 12.8 ben }/6

Adım 4. Kübik denkleminize yanıt olarak sıfırları ve ikinci dereceden denkleminize verdiğiniz yanıtı kullanın

İkinci dereceden denklemlerin iki cevabı olacak, oysa kübik denklemlerin üç cevabı olacaktır. Üç yanıttan ikisini zaten biliyorsunuz; parantez içindeki denklemin "kare" kısmından aldığınız. Kübik denkleminiz bu şekilde "çatanlara ayırma" ile çözülebiliyorsa, üçüncü cevabınız neredeyse her zaman 0. Güvenli! Az önce bir kübik denklemi çözdünüz.

Bu yöntemin işe yaramasının nedeni, "her sayının sıfırla çarpımı sıfıra eşittir" temel gerçeğidir. Denkleminizi x (ax) biçiminde çarpanlarına ayırdığınızda ² + bx + c) = 0, temelde onu iki "parçaya" bölersiniz; bir kısım sol taraftaki x değişkeni ve diğer kısım parantez içindeki ikinci dereceden denklemdir. Bu iki kısımdan biri sıfırsa, tüm denklem de sıfır olacaktır. Böylece, parantez içindeki ikinci dereceden denklemin onu sıfır yapacak iki yanıtı, kübik denklemin yanı sıra 0'ın kendisidir - bu da sol taraftaki kısmı da sıfır yapacaktır.

Yöntem 2/3: Faktör Listesi Kullanarak Tamsayılı Yanıtları Bulma

Adım 1. Kübik denkleminizin sabit bir değere sahip olduğundan emin olun

Bunları kullanmak için yeni bir hesaplama tekniği öğrenmeniz gerekmediği için yukarıda açıklanan yöntemlerin kullanımı oldukça kolay olsa da, kübik denklemleri çözmenize her zaman yardımcı olmazlar. Kübik denkleminiz balta biçimindeyse ³ + bx ² + cx + d = 0, d'nin değerinin sıfıra eşit olmadığı durumlarda, yukarıdaki "çatlara ayırma" yöntemi çalışmaz, bu yüzden bunu çözmek için bu bölümdeki yöntemlerden birini kullanmanız gerekecek.

Örneğin, 2 x denklemimiz olduğunu varsayalım. ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Bu durumda denklemin sağ tarafında sıfır almak için her iki tarafa da 6 eklemeliyiz. Bundan sonra yeni bir denklem elde edeceğiz 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, d = 6 değeriyle, yani bir önceki yöntemde olduğu gibi "çatanlara ayırma" yöntemini kullanamayız.

Adım 2. a ve d'nin çarpanlarını bulun

Kübik denkleminizi çözmek için, a faktörünü (x katsayısını) bularak başlayın. ³) ve d (denklemin sonundaki sabit değer). Unutmayın, çarpanlar belirli bir sayı üretmek için birbirleriyle çarpılabilen sayılardır. Örneğin, 6 × 1 ve 2 × 3 çarparak 6 elde edebileceğiniz için 1, 2, 3 ve 6, 6'nın çarpanlarıdır.

• Kullandığımız örnek problemde a = 2 ve d = 6. 2 faktörü 1 ve 2. 6 faktörü ise 1, 2, 3 ve 6.

  

  Adım 3. a faktörünü d faktörüne bölün

  Ardından, a'nın her faktörünü d'nin her bir faktörüne bölerek elde ettiğiniz değerleri listeleyin. Bu hesaplama genellikle birçok kesirli değer ve birkaç tam sayı ile sonuçlanır. Kübik denkleminizi çözmek için tamsayı değeri, hesaplamadan elde edilen tamsayılardan biridir.

  Denklemimizde, a (1, 2) faktör değerini d (1, 2, 3, 6) faktörüne bölün ve şu sonuçları elde edin: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, ve 2/3. Ardından, listeye negatif değerler ekleyin ve şunu elde ederiz: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 ve -2/3. Bir tam sayı olan kübik denklemin cevabı listede.

  

  Adım 4. Cevaplarınızı manuel olarak kontrol etmek için sentetik bölmeyi kullanın

  Yukarıdaki gibi bir değerler listesine sahip olduğunuzda, her bir tamsayıyı manuel olarak girerek kübik denkleminizin cevabı olan tamsayı değerlerine bakabilir ve hangi değerin sıfır döndürdüğünü bulabilirsiniz. Ancak, bunu yapmak için zaman harcamak istemiyorsanız, bunu daha hızlı yapmanın bir yolu var, yani sentetik bölme denilen bir hesaplama ile. Temel olarak, tamsayı değerinizi kübik denkleminizdeki orijinal a, b, c ve d katsayılarına bölersiniz. Kalan sıfır ise, bu değer kübik denkleminizin cevaplarından biridir.

  • Sentetik bölme karmaşık bir konudur - daha fazla bilgi için aşağıdaki bağlantıya bakın. Sentetik bölme ile kübik denkleminizin cevaplarından birini nasıl bulacağınıza dair bir örnek:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    0'a eşit nihai sonucu elde ettiğimize göre, kübik denklemimize verilen tamsayı cevaplarından birinin şu olduğunu biliyoruz. - 1.

  Yöntem 3/3: Diskriminant Yaklaşımını Kullanma

  

  Adım 1. a, b, c ve d denklemlerini yazın

  Kübik denklemin cevabını bu şekilde bulmak için denklemimizdeki katsayılarla bir çok hesaplama yapacağız. Bu nedenle, herhangi bir değeri unutmadan önce a, b, c ve d değerlerini not etmek iyi bir fikirdir.

  Örneğin, x denklemi için ³ - 3 kez ² + 3 x - 1, a = 1, b = -3, c = 3 ve d = -1 olarak yazın. x değişkeninin katsayısı olmadığında değerinin 1 olduğunu unutmayın.

  

  Adım 2. 0 = b hesaplayın ² - 3 klima.

  Kübik denklemlere cevap bulmaya yönelik diskriminant yaklaşımı, karmaşık hesaplamalar gerektirir, ancak adımları dikkatli bir şekilde izlerseniz, başka yollarla çözülmesi zor olan kübik denklemleri çözmek için çok yararlı olabilir. Başlamak için, ihtiyacımız olan birkaçın ilk anlamlı değeri olan 0 değerini bulun ve uygun değeri formül b'ye takın. ² - 3 klima.

  • Kullandığımız örnekte, bunu aşağıdaki gibi çözeceğiz:

    B ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Adım 3. 1= 2 b hesaplayın ³ - 9 abc + 27 bir ² NS.

  İhtiyacımız olan bir sonraki önemli değer olan 1, daha uzun bir hesaplama gerektirir, ancak 0 ile aynı şekilde bulunabilir. Uygun değeri formül 2 b'ye takın ³ - 9 abc + 27 bir ² d 1 değerini almak için.

  • Bu örnekte, aşağıdaki gibi çözüyoruz:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Adım 4. Hesapla = 1² - 4Δ0³) -27 bir ².

  Ardından, 0 ve 1 değerlerinin "ayırt edici" değerini hesaplıyoruz. Diskriminant, polinomun kökü hakkında size bilgi veren bir sayıdır (ikinci dereceden diskriminant formülünü bilinçsizce ezberlemiş olabilirsiniz: b ² - 4 klima). Kübik bir denklem durumunda, diskriminantın değeri pozitifse, denklemin üç gerçek sayı cevabı vardır. Diskriminant değeri sıfıra eşitse, denklemin bir veya iki reel sayı cevabı vardır ve cevapların bazıları aynı değere sahiptir. Değer negatifse, denklemin yalnızca bir gerçek sayı yanıtı vardır, çünkü denklemin grafiği her zaman x eksenini en az bir kez kesecektir.)

  • Bu örnekte, hem 0 hem de 1 = 0 olduğundan, değerini bulmak çok kolaydır. Sadece aşağıdaki şekilde hesaplamamız gerekiyor:

    1² - 4Δ0³) -27 bir ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, yani denklemimizin 1 veya 2 yanıtı var.

  

  Adım 5. C = hesaplayın ³(√((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Bizim için önemli olan son değer C değeridir. Bu değer, kübik denklemimizin üç kökünü de almamızı sağlar. Formüle 1 ve 0 değerlerini ekleyerek her zamanki gibi çözün.

  • Bu örnekte, C'nin değerini şu şekilde alacağız:

    ³(√((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Adım 6. Değişkeninizle denklemin üç kökünü hesaplayın

  Kübik denkleminizin kökü (cevap) formül tarafından belirlenir (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 bir, burada u = (-1 + (-3))/2 ve n 1, 2 veya 3'e eşittir. Bunları çözmek için değerlerinizi formüle girin - yapmanız gereken epeyce hesaplama olabilir., ancak üç kübik denklem cevabını da almalısın!

  • Bu örnekte, n 1, 2 ve 3'e eşit olduğunda cevapları kontrol ederek çözebiliriz. Bu hesaplamadan aldığımız cevap, kübik denklemimizin olası cevabıdır - kübik denkleme eklediğimiz herhangi bir değer ve bu, aynı sonuç 0 ile doğru cevaptır. Örneğin, hesaplama deneylerimizden birinde 1'e eşit bir cevap alırsak, x denklemine 1 değerini takarsak ³ - 3 kez ² + 3 x - 1, 0'a eşit nihai sonucu verir. Böylece

    Aşama 1. kübik denklemimizin cevaplarından biridir.