Bir "denklem sisteminde", iki veya daha fazla denklemi aynı anda çözmeniz istenir. İki denklemin iki farklı değişkeni olduğunda, örneğin x ve y olduğunda, çözüm ilk başta zor görünebilir. Neyse ki, ne yapmanız gerektiğini öğrendikten sonra, sorunu çözmek için cebirsel becerilerinizi (ve kesirleri hesaplama bilimini) kullanabilirsiniz. Ayrıca, görsel bir öğrenciyseniz veya öğretmen tarafından isteniyorsa, bu iki denklemi nasıl çizeceğinizi öğrenin. Çizimler, konuyu belirlemenize veya çalışmanızın sonuçlarını kontrol etmenize yardımcı olacaktır. Ancak bu yöntem diğer yöntemlerden daha yavaştır ve tüm denklem sistemleri için kullanılamaz.
Adım
Yöntem 1/3: Değiştirme Yöntemini Kullanma
Adım 1. Değişkenleri denklemin karşı tarafına taşıyın
Yerine koyma yöntemi, denklemlerden birinde “x değerini” (veya başka bir değişkeni) bularak başlar. Örneğin, sorunun denklemi olduğunu söyleyin 4x + 2y = 8 ve 5x + 3y = 9. İlk denklem üzerinde çalışarak başlayın. Her iki taraftan 2y çıkararak denklemi yeniden düzenleyin. Böylece, elde edersiniz 4x = 8 - 2y.
Bu yöntem genellikle sonunda kesirler kullanır. Kesirleri saymayı sevmiyorsanız, aşağıdaki eleme yöntemini deneyin
Adım 2. "x'in değerini bulmak" için denklemin her iki tarafını da bölün
x terimi (veya hangi değişkeni kullanırsanız kullanın) denklemin bir tarafında tek başına olduğunda, denklemin her iki tarafını da katsayılara bölün, böylece yalnızca değişken kalır. Örnek olarak:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Adım 3. Birinci denklemdeki x değerini ikinci denkleme takın
Az önce üzerinde çalıştığınız denklem yerine ikinci denkleme bağladığınızdan emin olun. İkinci denklemde x değişkenini değiştirin (değiştirin). Böylece, ikinci denklem artık sadece bir değişkene sahiptir. Örnek olarak:
- Bilinen x = 2 - y.
- İkinci denkleminiz 5x + 3y = 9.
- İkinci denklemdeki x değişkenini birinci denklemdeki x değeriyle değiştirdikten sonra "2 - y" elde ederiz: 5(2 - y) + 3y = 9.
Adım 4. Kalan değişkenleri çözün
Şimdi, denkleminizin sadece bir değişkeni var. Değişkenin değerini bulmak için denklemi sıradan cebirsel işlemlerle hesaplayın. İki değişken birbirini iptal ederse, doğrudan son adıma atlayın. Aksi takdirde, değişkenlerden biri için bir değer alırsınız:
- 5(2 - y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Bu adımı anlamadıysanız, kesirleri nasıl ekleyeceğinizi öğrenin.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Adım 5. İlk denklemde x'in gerçek değerini bulmak için elde edilen cevabı kullanın
Henüz durmayın çünkü hesaplamalarınız henüz yapılmadı. Kalan değişkenlerin değerini bulmak için elde edilen cevabı ilk denkleme eklemelisiniz:
- Bilinen y = -2
- Birinci denklemdeki denklemlerden biri 4x + 2y = 8. (Her ikisini de kullanabilirsiniz.)
- y değişkenini -2 ile değiştirin: 4x + 2(-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Adım 6. İki değişken birbirini iptal ederse ne yapacağınızı bilin
Girdiğin zaman x=3y+2 veya ikinci denkleme benzer bir cevap, yani sadece bir değişkeni olan bir denklem elde etmeye çalışıyorsunuz. Bazen, sadece denklemi elde edersin olmadan değişken. Çalışmanızı iki kez kontrol edin ve birinci denkleme geri dönmek yerine birinci denklemi ikinci denkleme yerleştirdiğinizden (yeniden sıraladığınızdan) emin olun. Yanlış bir şey yapmadığınızdan eminseniz, aşağıdaki sonuçlardan birini yazın:
- Denklemin değişkeni yoksa ve doğru değilse (örneğin, 3 = 5), bu problem cevap yok. (Bu grafik çizildiğinde, bu iki denklem paraleldir ve asla örtüşmez.)
- Denklemin değişkeni yoksa ve Doğru, (örn. 3 = 3), sorunun şu anlama geldiği sınırsız cevap. Denklem bir, denklem iki ile tamamen aynıdır. (Grafik çizildiğinde, bu iki denklem aynı doğrudur.)
Yöntem 2/3: Eleme Yöntemini Kullanma
Adım 1. Birbirini dışlayan değişkenleri bulun
Bazen, problemdeki denklem zaten birbirini iptal etmek eklendiğinde. Örneğin, denklemi yaparsanız 3x + 2y = 11 ve 5x - 2y = 13, "+2y" ve "-2y" terimleri birbirini iptal edecek ve "y" değişkenini denklemden çıkaracaktır. Problemdeki denkleme bakın ve örnekte olduğu gibi birbirini iptal eden değişkenler olup olmadığına bakın. Değilse, bir sonraki adıma geçin.
Adım 2. Bir değişkenin kaldırılması için denklemi bir ile çarpın
(Değişkenler zaten birbirini iptal ediyorsa bu adımı atlayın.) Denklemde kendi kendini iptal eden değişkenler yoksa, denklemlerden birini birbirini yok edecek şekilde değiştirin. Kolayca anlayabilmeniz için aşağıdaki örneklere bir göz atın:
- Problemdeki denklemler 3x - y = 3 ve - x + 2y = 4.
- İlk denklemi değiştirelim, böylece değişken y Birbirini iptal et. (değişkeni kullanabilirsiniz x. Elde edilen son cevap aynı olacaktır.)
- Değişken - y ilk denklemde elimine edilmelidir + 2 yıl ikinci denklemde. nasıl çarpılır - y ile 2.
- Denklemin her iki tarafını aşağıdaki gibi 2 ile çarpın: 2(3x - y)=2(3), Bu yüzden 6x - 2y = 6. şimdi, kabile - 2 yıl ile birbirini iptal edecek +2y ikinci denklemde.
Adım 3. İki denklemi birleştirin
İşin püf noktası, birinci denklemin sağ tarafını ikinci denklemin sağ tarafına, birinci denklemin sol tarafını da ikinci denklemin sol tarafına eklemektir. Doğru yapılırsa, değişkenlerden biri birbirini iptal edecektir. Hesaplamaya önceki örnekten devam etmeye çalışalım:
- İki denkleminiz 6x - 2y = 6 ve - x + 2y = 4.
- İki denklemin sol taraflarını toplayın: 6x - 2y - x + 2y = ?
- İki denklemin sağ taraflarını toplayın: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Adım 4. Son değişken değerini alın
Bileşik denkleminizi basitleştirin ve son değişkenin değerini elde etmek için standart cebirle çalışın. Sadeleştirmeden sonra denklemin değişkeni yoksa, bu bölümdeki son adıma geçin.
Aksi takdirde, değişkenlerden biri için bir değer alırsınız. Örnek olarak:
- Bilinen 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Grup değişkenleri x ve y bir arada: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Denklemi basitleştirin: 5x = 10
- x değerini bulun: (5x)/5 = 10/5, elde etmek üzere x = 2.
Adım 5. Başka bir değişkenin değerini bulun
Bir değişkenin değerini buldunuz, peki ya diğeri? Kalan değişkenin değerini bulmak için cevabınızı denklemlerden birine takın. Örnek olarak:
- Bilinen x = 2, ve problemdeki denklemlerden biri 3x - y = 3.
- x değişkenini 2 ile değiştirin: 3(2) - y = 3.
- Denklemde y değerini bulun: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, Bu yüzden 6 = 3 + y
- 3 = y
Adım 6. İki değişken birbirini iptal ettiğinde ne yapacağınızı bilin
Bazen, iki denklemi birleştirmek, mantıklı olmayan veya sorunu çözmenize yardımcı olmayan bir denklemle sonuçlanır. Çalışmanızı gözden geçirin ve yanlış bir şey yapmadığınızdan eminseniz aşağıdaki iki yanıttan birini yazın:
- Birleştirilmiş denklemin değişkeni yoksa ve doğru değilse (örneğin, 2 = 7), bu problem cevap yok. Bu cevap her iki denklem için de geçerlidir. (Bu grafik çizildiğinde, bu iki denklem paraleldir ve asla örtüşmez.)
- Birleştirilmiş denklemin değişkeni yoksa ve Doğru, (örn. 0 = 0), sorunun şu anlama geldiği sınırsız cevap. Bu iki denklem birbirinin aynısıdır. (Grafik çizildiğinde, bu iki denklem aynı doğrudur.)
Yöntem 3/3: Bir Denklem Grafiği Çiz
Adım 1. Bu yöntemi yalnızca talimat verildiğinde gerçekleştirin
Bir bilgisayar veya grafik hesap makinesi kullanmıyorsanız, bu yöntem yalnızca yaklaşık yanıtlar sağlayabilir. Öğretmeniniz veya ders kitabınız, denklemleri çizgi olarak çizme alışkanlığı kazanmak için bu yöntemi kullanmanızı söyleyebilir. Bu yöntem, yukarıdaki yöntemlerden birinin cevabını kontrol etmek için de kullanılabilir.
Ana fikir, iki denklemi tanımlamanız ve kesişme noktalarını bulmanız gerektiğidir. Bu kesişme noktasında x ve y'nin değeri sorunun cevabıdır
Adım 2. Her iki denklemin y değerlerini bulun
İki denklemi birleştirmeyin ve her denklemi, format "y = _x + _" olacak şekilde değiştirin. Örnek olarak:
- İlk denkleminiz 2x + y = 5. Değişmek y = -2x + 5.
- İlk denkleminiz - 3x + 6y = 0. Değişmek 6y = 3x + 0, ve basitleştirmek y = x + 0.
- İki denkleminiz tamamen aynıysa, tüm çizgi iki denklemin "kesişimidir". Yazı yazmak sınırsız cevap Bir cevap olarak.
Adım 3. Koordinat eksenlerini çizin
Grafik kağıdına dikey bir "y ekseni" çizgisi ve yatay bir "x ekseni" çizgisi çizin. İki eksenin kesiştiği noktadan (0, 0) başlayarak, 1, 2, 3, 4 vb. sayı etiketlerini sırayla y ekseninde yukarıyı ve x ekseninde sağı göstererek yazın.. Bundan sonra, -1, -2 vb. sayı etiketlerini sırayla y ekseninde aşağıya ve x ekseninde sola işaret ederek yazın.
- Grafik kağıdınız yoksa, her sayı arasındaki aralığın tam olarak aynı olduğundan emin olmak için bir cetvel kullanın.
- Büyük sayılar veya ondalık sayılar kullanıyorsanız, grafiğinizi ölçeklendirmenizi öneririz (ör. 1, 2, 3 yerine 10, 20, 30 veya 0, 1, 0, 2, 0, 3).
Adım 4. Her denklem için y-kesişim noktasını çizin
Denklem formda ise y = _x + _, denklem çizgisinin y ekseni ile kesiştiği noktayı yaparak bir grafik çizmeye başlayabilirsiniz. y'nin değeri her zaman denklemdeki son sayı ile aynıdır.
-
Önceki örneğe devam ederek, ilk satır (y = -2x + 5) y ekseninde kesişir
Adım 5.. ikinci çizgi (y = x + 0) y ekseninde kesişir 0. (Bu noktalar grafikte (0, 5) ve (0, 0) şeklinde yazılır.)
- Mümkünse birinci ve ikinci çizgileri farklı renkli kalemler veya kurşun kalemlerle çizin.
Adım 5. Çizgiye devam etmek için eğimi kullanın
denklem formatında y = _x + _, x'in önündeki sayı çizginin “eğim seviyesini” gösterir. x her bir artırıldığında, y'nin değeri eğim seviyelerinin sayısı kadar artacaktır. x = 1 olduğunda grafikteki her çizginin noktalarını bulmak için bu bilgiyi kullanın (Her denklemde x = 1 girip y'nin değerini de bulabilirsiniz.)
- Önceki örneğe devam edersek, satır y = -2x + 5 eğimi var - 2. x = 1 noktasında doğru hareket eder aşağı x = 0 noktasından 2 ile. (0, 5)'i (1, 3) ile birleştiren bir çizgi çizin.
- Hat y = x + 0 eğimi var ½. x = 1'de çizgi hareket eder sürmek x=0 noktasından. (0, 0)'ı (1,) ile birleştiren bir çizgi çizin.
- İki doğrunun eğimi aynıysa, ikisi asla kesişmeyecek. Bu nedenle, bu denklem sisteminin bir cevabı yoktur. Yazı yazmak cevapsız Bir cevap olarak.
Adım 6. İki çizgi kesişene kadar çizgileri bağlamaya devam edin
Çalışmayı bırakın ve grafiğinize bir bakın. iki çizgi birbirini geçtiyse, bir sonraki adıma geçin. Değilse, iki çizginizin konumuna göre bir karar verin:
- İki çizgi birbirine yaklaşıyorsa, şeritlerinizin noktalarını birleştirmeye devam edin.
- Eğer iki doğru birbirinden uzaklaşıyorsa, geri dönün ve noktaları x = 1'den başlayarak zıt yönlerde birleştirin.
- İki çizgi birbirinden çok uzaktaysa, üzerinden atlamayı ve daha uzaktaki noktaları birleştirmeyi deneyin, örneğin x = 10.
Adım 7. Kavşak noktasında cevabı bulun
İki doğru kesiştikten sonra x ve y'nin o noktadaki değeri probleminizin cevabıdır. Şanslıysanız, cevap bir tam sayı olacaktır. Örneğin, örneğimizde iki doğru bir noktada kesişiyor. (2, 1) yani cevap x = 2 ve y = 1. Bazı denklem sistemlerinde doğrunun kesiştiği nokta iki tam sayı arasındadır ve grafik çok doğru değilse x ve y değerlerinin kesişme noktasında nerede olduğunu belirlemek zordur. İzin verilirse, cevap olarak “x 1 ile 2 arasındadır” yazabilir veya cevabı bulmak için ikame veya eleme yöntemini kullanabilirsiniz.
İpuçları
- Cevapları orijinal denkleme ekleyerek çalışmanızı kontrol edebilirsiniz. Denklem doğru çıkarsa (örneğin 3 = 3), cevabınızın doğru olduğu anlamına gelir.
- Eleme yöntemini kullanırken bazen denklemi negatif bir sayı ile çarpmanız gerekir ki değişkenler birbirini götürebilsin.
