Bu, bir küp polinomunun nasıl çarpanlarına ayrılacağı üzerine bir makaledir. Gruplamaları kullanarak nasıl çarpanlarına ayıracağımızı ve ayrıca bağımsız terimlerden gelen çarpanları nasıl kullanacağımızı keşfedeceğiz.
Adım
Yöntem 1/2: Gruplandırmaya Göre Faktoring
Adım 1. Polinomu iki parçaya gruplayın
Bir polinomu iki yarıya gruplamak, her bir parçayı ayrı ayrı kırmanıza izin verecektir.
Bir polinom kullandığımızı varsayalım: x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. (x)'e bölün3 + 3x2) ve (- 6x - 18).
Adım 2. Her bölümde aynı olan faktörleri bulun
- itibaren (x3 + 3x2), aynı çarpanın x olduğunu görebiliriz.2.
- (- 6x - 18)'den eşit faktörün -6 olduğunu görebiliriz.
Adım 3. Her iki terimden de eşit çarpanları alın
- x faktörünü çıkar2 ilk kısımdan x alırız2(x + 3).
- İkinci kısımdan -6 faktörünü alarak -6(x + 3) elde ederiz.
Adım 4. İki terimin her biri aynı faktöre sahipse, faktörleri bir araya getirebilirsiniz
(x + 3)(x) elde edeceksiniz2 - 6).
Adım 5. Denklemin köklerine bakarak cevabı bulun
eğer x'in varsa2 denklemin köklerinde, hem pozitif hem de negatif sayıların denklemi karşılayacağını unutmayın.
Cevaplar -3, 6 ve -√6'dır
Yöntem 2/2: Serbest Terimleri Kullanarak Faktoring
Adım 1. Denklemi aX biçiminde yeniden düzenleyin3+bX2+cX+d.
Bir polinom kullandığımızı varsayalım: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Adım 2. "d"nin tüm çarpanlarını bulun
"d" sabiti, yanında "x" gibi herhangi bir değişken olmayan bir sayıdır.
Faktörler, başka bir sayı elde etmek için birlikte çarpılabilen sayılardır. Bu durumda, "d" olan 10'un çarpanları: 1, 2, 5 ve 10'dur
Adım 3. Polinomu sıfıra eşit yapan bir faktör bulun
Denklemdeki her bir "x"in içine faktörleri koyduğumuzda, polinomu sıfıra eşitleyen faktörlerin hangileri olduğunu belirlememiz gerekir.
-
1 olan ilk faktörle başlayın. Denklemdeki her bir "x" için "1"i değiştirin:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0.
- Şunları elde edeceksiniz: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- 0 = 0 doğru bir ifade olduğundan, cevabın x = 1 olduğunu bilirsiniz.
Adım 4. Bazı ayarları yapın
x = 1 ise, anlamını değiştirmeden biraz farklı görünmesi için ifadeyi yeniden düzenleyebilirsiniz.
"x = 1", "x - 1 = 0" ile aynıdır. Denklemin her iki tarafından "1" çıkarmanız yeterlidir
Adım 5. Denklemin geri kalanından denklemin kök faktörünü alın
"(x - 1)" denklemin köküdür. Denklemin geri kalanını çarpanlarına ayırıp ayıramayacağınızı kontrol edin. Polinomları tek tek çıkarın.
- (x - 1)'i x'ten ayırabilir misiniz?3? Numara. Ama ödünç alabilirsin -x2 ikinci değişkenin çarpanlarına ayırabilirsiniz: x2(x - 1) = x3 - x2.
- İkinci değişkenin kalanını (x - 1) çarpanlarına ayırabilir misiniz? Numara. Üçüncü değişkenden biraz ödünç almanız gerekiyor. -7x'ten 3x ödünç almanız gerekir. Bu, -3x(x - 1) = -3x sonucunu verecektir.2 + 3x.
- -7x'ten 3x aldığınız için üçüncü değişken -10x olur ve sabit 10'dur. Bunu çarpanlara ayırabilir misiniz? Evet! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Yaptığınız şey, tüm denklemden (x - 1) çarpanlarına ayırabilmeniz için değişkeni ayarlamaktır. Denklemi şuna benzer şekilde yeniden düzenlersiniz: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, ancak denklem hala x'e eşit3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Adım 6. Bağımsız terimin çarpanlarıyla değiştirmeye devam edin
5. adımda (x - 1) kullanarak çarpanlarına ayırdığınız sayıya bakın:
- x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Bir kez daha çarpanlara ayırmayı kolaylaştırmak için yeniden düzenleyebilirsiniz: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0.
- Burada, yalnızca çarpanlara ayırmanız gerekir (x2 - 3x - 10). Faktoringin sonucu (x + 2)(x - 5) olur.
Adım 7. Cevabınız, denklemin çarpanlarına ayrılmış kökleridir
Her cevabı ayrı ayrı orijinal denkleme ekleyerek cevabınızın doğru olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. Bu, 1, -2 ve 5 yanıtlarını verecektir.
- -2'yi denkleme ekleyin: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- 5'i denkleme yerleştirin: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
İpuçları
- Gerçek sayılar kullanılarak çarpanlarına ayrılamayan bir küp polinomu yoktur çünkü her küpün her zaman bir gerçek kökü vardır. x gibi bir küp polinomu3 Gerçek kökü irrasyonel olan + x + 1, tamsayılı veya rasyonel katsayılı bir polinomda çarpanlara ayrılamaz. Küp formülüyle çarpanlarına ayrılabilse de tamsayı polinomu olarak indirgenemez.
- Bir küp polinomu, üç polinomun birinin kuvvetine veya bir polinomun bir kuvvetine ve bir polinomun iki kuvvetine bölünemeyen çarpımıdır. İkincisi gibi durumlarda, ikinci kuvvet polinomunu elde etmek için birinci kuvvet polinomunu bulduktan sonra uzun bölme kullanırsınız.
