Karmaşık Kesirler Nasıl Basitleştirilir: 9 Adım (Resimlerle)

2024 Yazar: Jason Gerald | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-15 08:25

Karmaşık bir kesir, payın, paydanın veya her ikisinin de bir kesir içerdiği bir kesirdir. Bu nedenle karmaşık kesirler bazen "yığılmış kesirler" olarak adlandırılır. Karmaşık kesirleri basitleştirmek, payda ve paydada kaç sayı olduğuna, sayılardan birinin değişken olup olmadığına veya değişken sayının karmaşıklığına bağlı olarak kolay veya zor olabilir. Başlamak için aşağıdaki 1. Adıma bakın!

Adım

Yöntem 1/2: Ters Çarpma ile Karmaşık Kesirleri Basitleştirme

Adım 1. Gerekirse pay ve paydayı tek bir kesire sadeleştirin

Karmaşık kesirleri çözmek her zaman zor değildir. Aslında, payı ve paydası tek bir kesir içeren karmaşık kesirlerin çözülmesi genellikle oldukça kolaydır. Bu nedenle, karmaşık bir kesrin payı veya paydası (veya her ikisi) birden fazla kesir veya kesir ve bir tam sayı içeriyorsa, hem payda hem de paydada tek bir kesir elde etmek için basitleştirin. İki veya daha fazla kesrin En Küçük Ortak Katını (LCM) bulun.

• Örneğin, karmaşık bir kesri (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10) sadeleştirmek istediğimizi varsayalım. İlk olarak, karmaşık bir kesrin hem payını hem de paydasını tek bir kesre sadeleştireceğiz.

  • Payı basitleştirmek için 3/5 ve 3/3 çarpılarak elde edilen LCM 15'i kullanın. Pay, 11/15'e eşit olan 9/15 + 2/15 olacaktır.
  • Paydayı sadeleştirmek için 5/7 ile 10/10 ve 3/10 ile 7/7 çarpılarak elde edilen 70'in LCM sonucunu kullanacağız. Payda 50/70 - 21/70 olacak, bu da 29/70'e eşittir.
  • Böylece, yeni karmaşık kesir (11/15)/(29/70).

Adım 2. Paydanın tersini bulmak için paydayı ters çevirin

Tanım olarak, bir sayıyı diğerine bölmek, ilk sayıyı ikinci sayının tersiyle çarpmakla aynıdır. Artık hem payda hem de paydada tek bir kesre sahip karmaşık bir kesirimiz olduğuna göre, bu bölme işlemini karmaşık kesri basitleştirmek için kullanacağız. İlk olarak, karmaşık kesrin altındaki kesrin tersini bulun. Bunu, kesri "ters çevirerek" yapın - paydayı paydanın yerine koyarak ve bunun tersi de geçerlidir.

• Örneğimizde, karmaşık kesrin (11/15)/(29/70) paydasındaki kesir 29/70'dir. Tersini bulmak için, onu "ters çeviririz", böylece elde ederiz 70/29.

  Karmaşık bir kesrin paydasında bir tamsayı varsa, onu bir kesir olarak ele alıp tersini bulabileceğimize dikkat edin. Örneğin, karmaşık kesir (11/15)/(29) ise, paydayı 29/1 yapabiliriz, yani karşılıklı 1/29.

Adım 3. Karmaşık kesrin payını, paydanın tersi ile çarpın

Karmaşık kesrin paydasının tersini aldığımıza göre, tek bir basit kesir elde etmek için pay ile çarpın. İki kesri çarpmak için yalnızca çapraz çarpma yaptığımızı unutmayın - yeni kesrin payı, paydanın yanı sıra iki eski kesrin payının sayısıdır.

Örneğimizde 11/15 × 70/29 ile çarpacağız. 70 × 11 = 770 ve 15 × 29 = 435. Yani, yeni basit kesir 770/435.

Adım 4. En büyük ortak çarpanı bularak yeni kesri sadeleştirin

Zaten basit bir kesirimiz var, bu yüzden tek yapmamız gereken en basit sayıyı bulmak. Pay ve paydanın en büyük ortak faktörünü (GCF) bulun ve sadeleştirmek için her ikisini de bu sayıya bölün.

770 ve 435'in ortak bölenlerinden biri 5'tir. Öyleyse, kesrin payını ve paydasını 5'e bölersek şunu elde ederiz: 154/87. 154 ve 87'nin ortak çarpanı yoktur, bu yüzden son cevap bu!

Yöntem 2/2: Değişken Sayılar İçeren Karmaşık Kesirleri Basitleştirme

Adım 1. Mümkünse yukarıdaki ters çarpma yöntemini kullanın

Açık olmak gerekirse, neredeyse tüm karmaşık kesirler, pay ve paydanın tek bir kesirden çıkarılması ve payın paydanın tersi ile çarpılmasıyla basitleştirilebilir. Değişkenleri içeren karmaşık kesirler de dahil edilmiştir, ancak karmaşık kesirlerde değişkenlerin ifadesi ne kadar karmaşık olursa, ters çarpmayı kullanmak o kadar zor ve zaman alıcı olacaktır. Değişkenler içeren "kolay" karmaşık kesirler için ters çarpma iyi bir seçimdir, ancak payda ve paydada birden çok değişken sayı olan karmaşık kesirler, aşağıda açıklanan alternatif yolla basitleştirmek için daha kolay olabilir.

• Örneğin (1/x)/(x/6), ters çarpma ile basitleştirmek kolaydır. 1/x × 6/x = 6/x². Burada alternatif yöntemler kullanmaya gerek yoktur.
• Ancak (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) ters çarpma ile sadeleştirmek daha zordur. Karmaşık kesirlerin pay ve paydasını tek kesirlere indirgemek, ters çarpmak ve sonucu en basit sayılara indirmek karmaşık bir işlem olabilir. Bu durumda aşağıdaki alternatif yöntem daha kolay olabilir.

Adım 2. Ters çarpma pratik değilse, karmaşık kesirdeki kesirli sayının LCM'sini bularak başlayın

İlk adım, karmaşık bir kesirdeki tüm kesirli sayıların LCM'sini bulmaktır - hem payda hem de paydada. Genellikle, bir veya daha fazla kesirli sayının paydasında bir sayı varsa, LCM paydadaki sayıdır.

Bunu bir örnekle anlamak daha kolaydır. Yukarıda bahsedilen karmaşık kesirleri sadeleştirmeye çalışalım, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5)))). Bu karmaşık kesirdeki kesirli sayılar (1)/(x+3) ve (1)/(x-5)'tir. İki kesrin LCM'si paydadaki sayıdır: (x+3)(x-5).

Adım 3. Karmaşık kesrin payını yeni bulunan LCM ile çarpın

Daha sonra, karmaşık kesirdeki sayıyı kesirli sayının LCM'si ile çarpmamız gerekir. Diğer bir deyişle, tüm karmaşık kesirleri (KPK)/(KPK) ile çarpacağız. Bunu bağımsız olarak yapabiliriz çünkü (KPK)/(KPK) 1'e eşittir. İlk önce payları kendileri çarpın.

• Örneğimizde, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) karmaşık kesri çarpacağız, yani ((x+ 3)(x-5))/((x+3)(x-5)). Karmaşık kesrin payını ve paydasını her sayıyı (x + 3) (x-5) ile çarparak çarpmamız gerekir.

  • Önce payları çarpalım: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)

    • = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
    • = (x-5) + (x(x.)² - 2x - 15)) - (10(x)² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2 kere² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = x³ - 12x² +6x +145

Adım 4. Karmaşık kesrin paydasını payda yaptığınız gibi LCM ile çarpın

Paydaya giderek bulunan LCM ile karmaşık kesri çarpmaya devam edin. Tümünü çarpın, her sayıyı LCM ile çarpın.

• Karmaşık kesirimizin paydası, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), x +4 +((1) //(x-5)). Bunu bulunan LCM ile çarpacağız, (x+3)(x-5).

  • (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5)
  • = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5).
  • = x(x² - 2x - 15) + 4(x² - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
  • = x³ - 2 kere² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x+3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x+3)
  • = x³ + 2x² - 22x - 57

Adım 5. Yeni bulunan pay ve paydadan yeni ve basitleştirilmiş bir kesir oluşturun

Kesri (KPK)/(KPK) ile çarptıktan ve sayıları birleştirerek sadeleştirdikten sonra, sonuç kesirli sayı içermeyen basit bir kesirdir. Orijinal karmaşık kesirdeki kesirli sayının LCM'si ile çarpıldığında, bu kesrin paydasının tükeneceğini ve değişken sayısını ve tam sayıyı cevabın pay ve paydasında herhangi bir kesir olmadan bırakacağını unutmayın.

Yukarıda bulunan pay ve payda ile, orijinal karmaşık kesir ile aynı olan ancak kesirli sayıyı içermeyen bir kesir oluşturabiliriz. Elde edilen pay x³ - 12x² + 6x + 145 ve aldığımız payda x'ti³ + 2x² - 22x - 57, yani yeni kesir (x³ - 12x² + 6x + 145)/(x³ + 2x² - 22x - 57)

İpuçları

• İşin her adımını gösterin. Adımlar çok hızlı sayılıyorsa veya ezberlemeye çalışıyorsa, kesirler kafa karıştırıcı olabilir.
• İnternette veya kitaplarda karmaşık kesir örnekleri bulun. Ustalaşılana kadar her adımı izleyin.