Hacim Hesaplamanın 6 Yolu

2024 Yazar: Jason Gerald | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-15 08:25

Bir nesnenin hacmi, nesnenin kapladığı üç boyutlu alanı temsil eder. Hacmi, şekil tamamen doluysa bir şeklin ne kadar su (veya hava veya kum vb.) tutabileceği olarak da düşünebilirsiniz. Hacim için yaygın olarak kullanılan birim santimetreküptür (cm³), metreküp (m³), kübik inç (inç³) ve fit küp (ft³). Bu makale, küpler, küreler ve koniler dahil olmak üzere matematik sınavlarında sıklıkla bulunan altı farklı üç boyutlu şeklin hacimlerini nasıl hesaplayacağınızı öğretecektir. Bu hacim formüllerinin birçoğunun ortak bir şeyler paylaştığını fark edebilirsiniz, bu nedenle hatırlamaları kolaydır. Bakalım bunu çözebilecek misin!

Bir bakışta bilgi: Ortak Formların Hacmini Hesaplama

1. Katı bir küp veya kare için uzunluk, genişlik ve yüksekliği ölçün ve ardından hacmi elde etmek için hepsini çarpın. Resimlere ve ayrıntılara bakın.
2. Borunun yüksekliğini ve taban yarıçapını ölçün. r formülünü kullanarak taban alanını bulmak için bu yarıçapı kullanın.², ardından sonucu tüpün yüksekliğiyle çarpın. Resimlere ve ayrıntılara bakın.
3. Standart bir piramidin hacmi x taban alanı x yüksekliğe eşittir. Resimlere ve ayrıntılara bakın.
4. Bir koninin hacmi r formülü kullanılarak hesaplanabilir.²h, burada r tabanın yarıçapı ve h koninin yüksekliğidir. Resimlere ve ayrıntılara bakın.

5. Bir kürenin hacmini ölçmek için ihtiyacınız olan tek şey yarıçapı r. Bu değeri formüle takın ⁴/₃r³. Resimlere ve ayrıntılara bakın.

   Adım

   Yöntem 1/6: Bir Küpün Hacmini Hesaplama

   

   Adım 1. Bir küpün şeklini bilin

   Küp, altı eşit boyutlu kare kenarı olan üç boyutlu bir şekildir. Başka bir deyişle, bir küp, tüm kenarları aynı boyutta olan bir kutudur.

   6 kenarlı bir zar, evinizde bulabileceğiniz bir küp örneğidir. Şeker blokları ve çocuk oyuncak harf blokları da genellikle küplerdir

   

   Adım 2. Bir küpün hacminin formülünü öğrenin

   Formül basit V= s3'tür, burada V hacmi temsil eder ve s küpün kenar uzunluğunu temsil eder.

   bulmak için³, a'yı kendi değeriyle 3 kez çarpın: s³ = s * s * s

   

   Adım 3. Küpün bir tarafının uzunluğunu ölçün

   Ödevinize bağlı olarak, küpte bu bilgiler zaten yazılı olabilir veya kenarların uzunluğunu bir cetvelle ölçmeniz gerekir. Bu bir küp olduğundan, tüm kenar uzunluklarının aynı olacağını ve hangi tarafı ölçtüğünüzün önemli olmadığını unutmayın.

   Sahip olduğunuz şeklin bir küp olduğundan %100 emin değilseniz, aynı boyutta olup olmadığını görmek için her iki tarafı da ölçün. Aynı değilse Blok Hacim Hesaplamak için aşağıdaki yöntemi kullanmalısınız

   

   Adım 4. Kenar uzunluklarını V = s formülüne yerleştirin³ ve say.

   Örneğin, küpünüzün kenarlarının uzunluğu 5 inç ise, formülü şu şekilde yazarsınız: V = (5 inç)³. 5 inç * 5 inç * 5 inç = 125 inç³, bu bizim küpümüzün hacmi!

   

   Adım 5. Sonucu kübik birimlerle ifade edin

   Yukarıdaki örnekte, küpümüzün kenar uzunlukları inç cinsinden ölçülmüştür, dolayısıyla hacim birimi inç küptür. Örneğin kenar uzunluğu 3 cm ise hacim V = (3 cm) olur.³, veya V = 27 cm³.

   Yöntem 2/6: Blok Hacmini Hesaplama

   

   Adım 1. Bir bloğun şeklini bilin

   Dikdörtgen prizma olarak da adlandırılan bir blok, tümü dikdörtgen olan altı kenarı olan üç boyutlu bir şekildir. Başka bir deyişle, blok üç boyutlu dikdörtgen bir şekil veya bir kutu şeklidir.

   Küp, tüm kenarları aynı boyutta olan özel bir bloktur

   

   Adım 2. Bir küboidin hacmini hesaplama formülünü öğrenin

   Bir küboidin hacminin formülü Hacim = uzunluk * genişlik * yükseklik veya V = plt'dir.

   

   Adım 3. Bloğun uzunluğunu bulun

   Bu uzunluk, kirişin yerleştirildiği yüzeye paralel olan kenarının en uzun kısmıdır. Bu uzunluk diyagramda zaten verilmiş olabilir veya bir cetvel veya şerit metre ile ölçmeniz gerekebilir.

   • Örnek: Bu bloğun uzunluğu 4 inç, yani p = 4 inç.
   • Hangi tarafın uzunluk, genişlik ve yükseklik olduğu konusunda çok fazla endişelenmeyin. Üç farklı ölçüm kullandığınız sürece, bunları nasıl sipariş ettiğinize bakılmaksızın sonuç aynı olacaktır.

   

   Adım 4. Kirişin genişliğini bulun

   Kiriş genişliği, kirişin yerleştirildiği yere paralel olan katının kısa kenarının ölçümüdür. Yine, grafikte genişliği gösteren bir etiket arayın veya bir cetvel veya şerit metre ile kendiniz ölçün.

   • Örnek: Bu bloğun genişliği 3 inç, yani l = 3 inç.
   • Blokları bir cetvel veya şerit metre ile ölçüyorsanız, bunu aynı birimleri kullanarak yaptığınızdan emin olun. Bir tarafı inç, diğer tarafı santimetre cinsinden ölçmeyin; tüm ölçümler aynı birimleri kullanmalıdır!

   

   Adım 5. Bloğun yüksekliğini bulun

   Bu yükseklik, yerleştirilen kirişin yüzeyinden kirişin tepesine kadar olan mesafedir. Grafiğinizdeki yükseklik bilgilerine bakın veya bir cetvel veya şerit metre ile kendinizi ölçün.

   Örnek: Bu bloğun yüksekliği 6 inç, yani t = 6 inç

   

   Adım 6. Küboid ölçümlerini hacim formülüne takın ve hesaplayın

   V = plt olduğunu unutmayın.

   Örneğimizde, p = 4, l = 3 ve t = 6. Bu nedenle, V = 4 * 3 * 6 veya 72

   

   Adım 7. Sonucu kübik birimler halinde yazdığınızdan emin olun

   Örnek bloğumuz inç olarak ölçüldüğü için hacmi 72 inç küp veya 72 inç olarak yazılmalıdır.³.

   Küboidimizin ölçüleri: uzunluk = 2 cm, genişlik = 4 cm ve yükseklik = 8 cm ise, bloğun hacmi 2 cm * 4 cm * 8 cm veya 64 cm'dir.³.

   Yöntem 3/6: Tüpün Hacmini Hesaplama

   

   Adım 1. Bir tüpün şeklini belirleyin

   Tüp, dairesel şekilli iki özdeş düz ucu ve ikisini birleştiren kavisli bir tarafı olan üç boyutlu bir şekildir.

   Bir kutu, AA veya AAA piller gibi bir tüp örneğidir

   

   Adım 2. Silindirin hacminin formülünü hatırlayın

   Bir silindirin hacmini hesaplamak için, taban dairesinin (dairenin merkezinden kenarlara olan uzaklığı) üst ve alt kısımdaki yüksekliğini ve yarıçapını bilmeniz gerekir. Formül V = r²t, burada V hacimdir, r taban çemberinin yarıçapıdır, t yüksekliktir ve pi'nin sabit değeridir.

   • Bazı geometri problemlerinde cevap pi ile ilgili olacaktır, ancak çoğu durumda pi'yi 3, 14'e yuvarlayabiliriz. Hangisini tercih ettiğini görmek için bunu eğitmeninizle onaylayın.
   • Bir silindirin hacmini bulma formülü aslında bir küboidin hacmi formülüne çok benzer: şeklin yüksekliğini tabanın yüzey alanı ile çarpmanız yeterlidir. Küboid formülde bu yüzey alanı p * l iken silindir için r'dir.², yani yarıçapı r olan bir dairenin alanı.

   

   Adım 3. Taban yarıçapını bulun

   Şemada verilmişse, değeri kullanın. Yarıçap yerine çap verilmişse, yarıçapın değerini (d = 2r) bulmak için 2'ye bölmeniz yeterlidir.

   

   Adım 4. Bir yarıçap verilmemişse nesneyi ölçün

   Tüpü tam olarak ölçmenin oldukça zor olabileceğini unutmayın. Bir yol, tüpün altını bir cetvel veya ölçüm bandı ile yukarı bakacak şekilde ölçmektir. Silindirin genişliğini en geniş noktasında ölçmek için elinizden gelenin en iyisini yapın ve yarıçapı bulmak için 2'ye bölün.

   • Bir tüpün çevresini (etrafındaki mesafeyi) ölçmek için başka bir seçenek, bir cetvelle uzunluğunu işaretleyip ölçebileceğiniz bir şerit metre veya bir parça ip kullanmaktır. Ardından, bu ölçümü C (çevre) = 2πr formülüne takın. Çevreyi 2π'ye (6.28) bölün ve yarıçapı elde edersiniz.
   • Örneğin, ölçtüğünüz çevre 8 inç ise yarıçap 1,27 inçtir.
   • Gerçekten doğru ölçümlere ihtiyacınız varsa, ölçümlerinizin aynı olduğundan emin olmak için her iki yöntemi de kullanabilirsiniz. Değilse, ikisini de iki kez kontrol edin. Çevre yöntemi genellikle daha doğru sonuçlar verir.

   

   Adım 5. Taban dairesinin alanını hesaplayın

   Taban yarıçap değerini r formülüne takın². Ardından, yarıçapı bir kez kendisiyle çarpın ve sonucu tekrar ile çarpın. Örnek olarak:

   • Dairenizin yarıçapı 4 inç ise, taban alanı A = 4'tür.².
   • 4² = 4 * 4 veya 16. 16 * (3.14) = 50.24 inç²
   • Yarıçap yerine tabanın çapı verilmişse, d = 2r olduğunu unutmayın. Yarıçapı bulmak için çapı ikiye bölmeniz yeterlidir.

   

   Adım 6. Tüpün yüksekliğini bulun

   Bu, dairenin iki yarısı arasındaki mesafe veya tüpün yerleştirildiği yüzeyden olan mesafedir. Diyagramınızda tüpün yüksekliğini gösteren bir etiket arayın veya bir cetvel veya şerit metre ile ölçün.

   

   Adım 7. Hacmi bulmak için tabanın alanını silindirin yüksekliğiyle çarpın

   Veya bir adım atlayıp tüp ölçü değerlerini V=r formülüne girebilirsiniz.²T. 4 inç yarıçaplı ve 10 inç yüksekliğe sahip bir tüp ile örneğimiz için:

   • V = 4²10
   • 4² = 50, 24
   • 50.24 * 10 = 502, 4
   • V = 502, 4

   

   Adım 8. Cevabınızı küp cinsinden belirtmeyi unutmayın

   Numune tüpümüz inç cinsinden ölçülür, bu nedenle hacmi inç küp cinsinden ifade edilmelidir: V = 502.4 inç³. Silindirimiz santimetre cinsinden ölçülürse, hacmi santimetre küp (cm) cinsinden ifade edilir.³).

   Yöntem 4/6: Sıradan Bir Piramidin Hacmini Hesaplama

   

   Adım 1. Düzenli piramidin ne olduğunu anlayın

   Bir piramit, tabanı bir çokgen ve bir eksende (piramidin tepe noktası) birleşen yan kenarları olan üç boyutlu bir şekildir. Düzenli bir piramit, tabanın standart bir çokgen olduğu bir piramittir; bu, çokgenin tüm kenarlarının eşit uzunlukta olduğu ve tüm açıların aynı olduğu anlamına gelir.

   • Genellikle bir piramidi, kenarları bir noktaya kadar ulaşan kare bir tabana sahip olarak düşünürüz, ancak aslında bir piramidin tabanının 5, 6 ve hatta 100 kenarı olabilir!
   • Dairesel tabanlı bir piramit, bir sonraki yöntemde tartışılacak olan koni olarak adlandırılır.

   

   Adım 2. Sıradan bir piramidin hacmini hesaplama formülünü öğrenin

   Bu formül V = 1/3bt'dir, burada b, piramidin tabanının alanıdır (alttaki çokgenin şekli) ve t, piramidin yüksekliği veya tabandan tepeye olan dikey mesafedir..

   Bir dik piramidin hacim formülü, tepe noktasının doğrudan tabanın merkezinin üzerinde olduğu ve tepe noktasının ortada olmadığı bir eğik piramidin hacmi ile aynıdır

   

   Adım 3. Taban alanını hesaplayın

   Bunun formülü, bir piramidin tabanının sahip olduğu kenar sayısına bağlı olacaktır. Diyagramımızdaki piramidin tabanı, kenarları 6 inç uzunluğunda bir karedir. Bir karenin alan formülünün A = s olduğunu unutmayın.², burada s kenar uzunluğudur. Bu piramit için taban alanı (6 inç) ²veya 36 inç².

   • Bir üçgenin alan formülü: A = 1/2bt, burada b üçgenin tabanı ve t yüksekliktir.
   • Standart bir çokgenin alanını A = 1/2pa formülünü kullanarak bulabilirsiniz; burada A alan, p şeklin çevresi ve a özdektir veya şeklin orta noktasından orta noktaya olan uzaklıktır. taraflarından biridir. Bu, bu makalede ele almayacağımız daha karmaşık bir hesaplamadır, ancak nasıl kullanılacağına ilişkin bazı iyi talimatları öğrenmek için Bir Çokgenin Alanını Hesaplama makalesini ziyaret edebilirsiniz. Veya bu işlemi basitleştirebilir ve çevrimiçi bir Çokgen Hesaplayıcı arayabilirsiniz.

   

   Adım 4. Piramidin yüksekliğini bulun

   Çoğu durumda, bu şemada gösterilecektir. Örneğimizde piramidin yüksekliği 10 inçtir.

   

   Adım 5. Piramidin tabanının alanını yüksekliğiyle çarpın ve hacmi bulmak için 3'e bölün

   Hacim formülünün V = 1/3bt olduğunu unutmayın. Alanı 36 ve yüksekliği 10 olan örneğimizde hacim: 36 * 10 * 1/3 veya 120'dir.

   Farklı bir piramit kullanırsak, örneğin alanı 26 ve yüksekliği 8 olan beşgen şeklinde bir tabanı olan bir piramit kullanırsak, hacim: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33 olacaktır

   

   Adım 6. Cevabınızı küp cinsinden belirtmeyi unutmayın

   Örneğimizdeki piramitteki ölçüler inç cinsindendir, dolayısıyla hacim inç küp cinsinden ifade edilmelidir, 120. Piramidimiz metre cinsinden ölçülürse, hacim metreküp (m) cinsinden ifade edilmelidir.³).

   Yöntem 5/6: Bir Koninin Hacmini Hesaplama

   

   Adım 1. Koninin şeklini öğrenin

   Koni, tabanı dairesel ve tepe noktası olan 3 boyutlu bir şekildir. Bunu düşünmenin başka bir yolu da koniyi dairesel tabanlı bir piramit olarak düşünmektir.

   Koninin tepe noktası tam olarak dairenin merkezindeyse, o zaman koni "gerçek koni"dir. Köşe tam olarak ortada değilse, koniye "eğik koni" denir. Neyse ki, her ikisinin de hacmini hesaplama formülü aynıdır

   

   Adım 2. Bir koninin hacmini hesaplamak için formülde uzmanlaşın

   Formül V = 1/3πr'dir²t, burada r koninin dairesel tabanının yarıçapıdır, burada t yüksekliktir ve 3.14'e yuvarlanmış olan pi sabitidir.

   r. kısım² formülden, dairesel koninin tabanının alanını ifade eder. Bu nedenle, bir önceki yöntemde bir piramidin hacim formülü gibi, bir koninin hacim formülü 1/3bt'dir!

   

   Adım 3. Koninin dairesel tabanının alanını hesaplayın

   Bunu yapmak için, diyagramınızda zaten yazılması gereken yarıçapı bilmeniz gerekir. Size yalnızca çap verilmişse, bu değeri 2'ye bölün, çünkü çap yarıçapın 2 katıdır (d = 2r). Ardından yarıçap değerini A = r formülüne girin² alanı hesaplamak için

   • Diyagramdaki örnekte, koninin tabanının yarıçapı 3 inçtir. Bunu formüle bağladığımızda: A = 3².
   • 3² = 3 *3 veya 0, yani A = 9π.
   • A = 28, 27 inç²

   

   Adım 4. Koninin yüksekliğini bulun

   Bu, koninin tabanı ile tepesi arasındaki dikey mesafedir. Örneğimizde koninin yüksekliği 5 inçtir.

   

   Adım 5. Koninin yüksekliğini taban alanıyla çarpın

   Örneğimizde bu alan 28.27 inçtir.² ve yükseklik 5 inç, yani bt = 28, 27 * 5 = 141, 35.

   

   Adım 6. Koninin hacmini bulmak için şimdi sonucu 1/3 ile çarpın (veya 3'e bölebilirsiniz)

   Yukarıdaki adımda, koninin duvarları bir noktaya kadar daralmak yerine doğrudan başka bir daireye doğru uzarsa oluşacak silindirin hacmini hesapladık. 3'e bölmek size koninin hacmini verecektir.

   • Örneğimizde, 141, 35 * 1/3 = 47, 12, bu koninin hacmidir.
   • Alternatif olarak, 1/3π3²5 = 47, 12

   

   Adım 7. Cevabınızı küp cinsinden belirtmeyi unutmayın

   Konimiz inç cinsinden ölçülür, bu nedenle hacmi inç küp cinsinden ifade edilmelidir: 47.12 inç³.

   Yöntem 6/6: Bir Topun Hacmini Hesaplama

   

   Adım 1. Şekli bulun

   Bir küre, yüzeyindeki her noktanın merkezinden aynı uzaklıkta olduğu, tamamen küresel üç boyutlu bir nesnedir. Başka bir deyişle, burada yer alan küresel nesnelerdir.

   

   Adım 2. Bir kürenin hacminin formülünü öğrenin

   Bu kürenin hacminin formülü V = 4/3πr'dir.³ (okuyun: "üçte dört pi r-küp") burada r, kürenin yarıçapıdır ve pim sabitidir (3, 14).

   

   Adım 3. Kürenin yarıçapını bulun

   Yarıçap verilirse, r'yi bulmak sadece kolay bir meseledir. Çap verilmişse, yarıçap değerini bulmak için 2'ye bölmeniz gerekir. Örneğin, diyagramımızdaki kürenin yarıçapı 3 inçtir.

   

   Adım 4. Yarıçap bilinmiyorsa topu ölçün

   Yarıçapını bulmak için küresel bir nesneyi (tenis topu gibi) ölçmeniz gerekiyorsa, önce nesnenin etrafını saracak kadar büyük bir ip alın. Ardından, nesnenin etrafında en geniş noktasından dolaşın ve ipin tekrar uca değdiği yeri işaretleyin. Ardından, dış çevresini bulmak için ipi bir cetvelle ölçün. Bu değeri 2π veya 6, 28'e bölün ve kürenin yarıçapını elde edin.

   • Örneğin, bir küreyi ölçüp çevresel noktayı 18 inç bulursanız, 6,28'e bölün ve 2,87 inçlik bir yarıçap elde edersiniz.
   • Küresel nesneleri ölçmek biraz zor olabilir, bu nedenle en doğru değeri elde ettiğinizden emin olmak için 3 farklı zaman ölçtüğünüzden ve ortalamayı aldığınızdan emin olun (üç ölçümün tümünü toplayın, ardından 3'e bölün).
   • Örneğin, dış çevre ölçümleriniz 18 inç, 17.75 inç ve 18.2 inç ise, hepsini toplayın (18 + 17.5 + 18, 2 = 53.95) ve sonucu 3'e (53.95/3 = 17, 98) bölün. Hacim hesaplamalarınızda bu ortalamayı kullanın.

   

   Adım 5. r'yi bulmak için yarıçapı kübik³.

   Bu, sayının kendisiyle 3 kez çarpmanız gerektiği anlamına gelir, yani r³ = r * r * r. Örneğimizde, r = 3, yani r³ = 3 * 3 * 3 veya 27.

   

   Adım 6. Şimdi cevabınızı 4/3 ile çarpın

   Bir hesap makinesi kullanabilir veya manuel olarak hesaplayabilir ve kesri basitleştirebilirsiniz. Örneğimizde, 27'yi 4/3 = 108/3 veya 36 ile çarpıyoruz.

   

   Adım 7. Kürenin hacmini bulmak için sonucu ile çarpın

   Hacmi hesaplamanın son adımı, sonucu ile çarpmaktır. Çoğu matematik problemi için genellikle iki basamağa yuvarlamak yeterlidir (öğretmeniniz aksini söylemedikçe), bu nedenle 3, 14 ile çarpın ve cevabı bulacaksınız.

   Örneğimizde 36 * 3, 14 = 113, 09

   

   Adım 8. Cevabınızı küp cinsinden ifade edin

   Örneğimizde, kürenin yarıçapı inç cinsinden ölçülür, bu nedenle gerçek cevabımız V = 113.09 inç küptür (113.09 inç).³).