Hesap makinelerinin icat edilmesinden önceki günlerde, öğrenciler ve profesörler karekökleri elle hesaplamak zorundaydılar. Bu zorlu sürecin üstesinden gelmek için birkaç farklı yol geliştirilmiştir. Bazı yollar kaba bir tahmin verirken, diğerleri kesin bir değer verir. Sadece basit işlemleri kullanarak bir sayının karekökünü nasıl bulacağınızı öğrenmek için, başlamak için aşağıdaki 1. Adıma bakın.
Adım
Yöntem 1/2: Asal Çarpanlara Ayırmayı Kullanma
Adım 1. Numaranızı tam kare çarpanlara bölün
Bu yöntem, sayının karekökünü bulmak için bir sayının çarpanlarını kullanır (sayıya bağlı olarak, cevap tam bir sayı veya yakın bir tahmin olabilir). Bir sayının çarpanları, çarpıldığında o sayıyı üreten bir dizi başka sayıdır. Örneğin, 2 × 4 = 8 olduğu için 8'in çarpanlarının 2 ve 4 olduğunu söyleyebilirsiniz. Bu arada tam kareler, diğer tam sayıların çarpımı olan tam sayılardır. Örneğin 25, 36 ve 49, sırasıyla 5 oldukları için tam karelerdir.2, 62ve 72. Tahmin edebileceğiniz gibi, tam kare faktörleri aynı zamanda tam kare olan faktörlerdir. Asal çarpanlara ayırma yoluyla karekökü bulmaya başlamak için önce sayınızı tam kare çarpanlarına sadeleştirmeye çalışın.
- Bir örnek kullanalım. 400'ün karekökünü elle bulmak istiyoruz. Başlamak için, sayıyı tam kare çarpanlarına böleceğiz. 400, 100'ün katı olduğundan, 400'ün 25'e tam bölünebildiğini biliyoruz - bir tam kare. Gölgelerin hızlı bir şekilde bölünmesiyle, 400 bölü 25'in 16'ya eşit olduğunu buluyoruz. Tesadüfen, 16 da bir tam karedir. Böylece, 400'ün tam kare çarpanları 25 ve 16 çünkü 25×16=400
- Bunu şöyle yazabiliriz: Sqrt(400) = Sqrt(25 × 16)
Adım 2. Tam kare çarpanlarınızın karekökünü bulun
Karekökün çarpma özelliği, herhangi bir a ve b sayısı için Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b) olduğunu belirtir. Bu özellik sayesinde, şimdi tam kare çarpanlarımızın karekökünü bulabilir ve cevabımızı almak için çarpabiliriz.
-
Örneğimizde 25 ve 16'nın kareköklerini bulacağız. Aşağıya bakın:
- Kök(25 × 16)
- Kök(25) × Kök(16)
-
5 × 4 =
Adım 20.
Adım 3. Numaranız mükemmel bir şekilde çarpanlara ayrılamıyorsa, cevabınızı en basit şekline göre sadeleştirin
Gerçek hayatta, genellikle karekökünü bulmanız gereken sayılar, 400 gibi bariz tam kare çarpanlara sahip hoş tam sayılar değildir. Bu durumlarda, bir tam sayı olarak doğru cevabı bulamamamız mümkündür. Ancak, bulabildiğiniz kadar çok tam kare çarpan bularak, cevabı daha küçük, daha basit ve hesaplanması daha kolay bir karekök şeklinde bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, sayınızı tam kare çarpanları ve kusurlu kare çarpanlarının bir kombinasyonuna indirgeyin, ardından basitleştirin.
-
Örnek olarak 147'nin karekökünü kullanalım. 147, iki tam karenin bir ürünü değildir, bu nedenle yukarıdaki gibi tam tamsayı değerini elde edemeyiz. Ancak 147, bir tam kare ile 49 ve 3 sayısının çarpımıdır. Bu bilgiyi, cevabımızı en basit haliyle aşağıdaki gibi yazmak için kullanabiliriz:
- Kök(147)
- = Kök(49 × 3)
- = Kare(49) × Kare(3)
- = 7 × Kök(3)
Adım 4. Gerekirse tahmin edin
En basit haliyle karekökünüzle, kalan karekökün değerini tahmin edip çarparak sayı cevabının kaba bir tahminini elde etmek genellikle oldukça kolaydır. Tahmininizi yönlendirmenin bir yolu, karekökünüzdeki sayıdan büyük ve küçük olan tam kareleri aramaktır. Karekökünüzdeki sayının ondalık değerinin iki sayı arasında olduğunu fark edeceksiniz, böylece iki sayı arasındaki değeri tahmin edebilirsiniz.
-
Örneğimize dönelim. çünkü 22 = 4 ve 12 = 1, Root(3)'ün 1 ile 2 arasında olduğunu biliyoruz – muhtemelen 2'ye 1'den daha yakın. 1, 7, 7 × 1, 7 = 11, 9. Cevabımızı hesap makinesinden kontrol edersek, cevabımızın gerçek cevaba oldukça yakın olduğunu görebiliriz. 12, 13.
Bu aynı zamanda daha büyük sayılar için de geçerlidir. Örneğin, Root(35) 5 ile 6 arasında (muhtemelen 6'ya daha yakın) yaklaşık olarak alınabilir. 52 = 25 ve 62 = 36. 35, 25 ile 36 arasındadır, dolayısıyla karekök 5 ile 6 arasında olmalıdır. 35, 36'dan yalnızca bir küçük olduğundan, karekökün 6'dan biraz daha küçük olduğunu güvenle söyleyebiliriz. bize cevabı verin, yaklaşık 5, 92 – haklıyız.
Adım 5. Alternatif olarak, ilk adımınız olarak sayınızı en az ortak çarpanlarına indirin
Bir sayının asal çarpanlarını (aynı zamanda asal sayı olan çarpanları) kolayca belirleyebiliyorsanız, tam karelerin çarpanlarını bulmak gerekli değildir. Numaranızı en az ortak çarpanlarına göre yazınız. Ardından, çarpanlarınıza uyan asal sayı çiftlerini bulun. Aynı olan iki asal çarpan bulduğunuzda, bu iki sayıyı karekökten çıkarın ve bu sayılardan birini karekökün dışına yerleştirin.
-
Örneğin, bu yöntemi kullanarak 45'in karekökünü bulun. 45 × 5 olduğunu biliyoruz ve 9 = 3 × 3'ün altında olduğunu biliyoruz. Böylece karekökümüzü şu gibi çarpanlara göre yazabiliriz: Sqrt(3 × 3 × 5). Karekökünüzü en basit şekline getirmek için her iki 3'ü de kaldırın ve bir 3'ü karekökün dışına koyun: (3)Kök(5).
Buradan, tahmin etmemiz kolay olacak.
-
Son bir örnek problem olarak, 88'in karekökünü bulmaya çalışalım:
- Kök(88)
- = Kök(2 × 44)
- = Kök(2 × 4 × 11)
- = Kök(2 × 2 × 2 × 11). Karekökümüzde 2 tane var. 2 asal bir sayı olduğundan, bir çift 2'yi kaldırabilir ve bunlardan birini karekökün dışına koyabiliriz.
-
= En basit haliyle karekökümüz (2) Sqrt(2 × 11) veya (2) Kök(2) Kök(11).
Buradan Sqrt(2) ve Sqrt(11)'i tahmin edebilir ve yaklaşık cevabı istediğimiz gibi bulabiliriz.
Yöntem 2/2: Kare Kökü El İle Bulma
Uzun Bölme Algoritmasını Kullanma
Adım 1. Numaranızın rakamlarını çiftlere ayırın
Bu yöntem, tam karekök basamağı basamak basamak bulmak için uzun bölmeye benzer bir işlem kullanır. Zorunlu olmamakla birlikte, iş yerinizi ve numaralarınızı görsel olarak çalışması kolay parçalar halinde düzenlerseniz bu işlemi gerçekleştirmeniz daha kolay olabilir. Önce, çalışma alanınızı iki bölüme ayıran dikey bir çizgi çizin, ardından sağ bölümü daha küçük bir üst bölüme ve daha büyük bir alt bölüme ayırmak için sağ üst kısma yakın daha kısa bir yatay çizgi çizin. Ardından, ondalık noktadan başlayarak rakamlarınızı çiftlere ayırın. Örneğin, bu kurala göre 79.520.789.182, 47897 "7 95 20 78 91 82. 47 89 70" olur. Numaranızı sol üst köşeye yazın.
Örneğin 780, 14'ün karekökünü hesaplamaya çalışalım. İş yerinizi yukarıdaki gibi bölmek için iki çizgi çizin ve sol üst köşeye "7 80. 14" yazın. En soldaki sayının bir çift sayı değil de tek bir sayı olması önemli değildir. Cevabınızı (780,14 karekök) sağ üst köşeye yazacaksınız
Adım 2. Kare değeri en soldaki sayıdan (veya sayı çiftinden) küçük veya ona eşit olan en büyük tamsayıyı bulun
Hem sayı çiftleri hem de tek sayılar olmak üzere, numaranızın en solundan başlayın. Bu sayıdan küçük veya ona eşit olan en büyük tam kareyi bulun, ardından bu tam karenin karekökünü bulun. Bu sayı n'dir. Sağ üst köşeye n yazın ve sağ alt çeyreğe n'nin karesini yazın.
Örneğimizde en soldaki 7 sayısıdır. Çünkü biliyoruz ki 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, n = 2 diyebiliriz çünkü 2, kare değeri 7'den küçük veya ona eşit olan en büyük tam sayıdır. Sağ üst çeyreğe 2 yazın. Bu, cevabımızın ilk hanesidir. Sağ alt çeyreğe 4 (2'nin kare değeri) yazın. Bu sayı bir sonraki adım için önemlidir.
Adım 3. Az önce hesapladığınız sayıyı en soldaki çiftten çıkarın
Uzun bölmede olduğu gibi, bir sonraki adım, az önce bulduğumuz karenin değerini az önce analiz ettiğimiz kısımdan çıkarmaktır. Bu numarayı ilk bölümün altına yazın ve çıkarın, cevabınızı altına yazın.
-
Örneğimizde, 7'nin altına 4 yazacağız, sonra çıkaracağız. Bu çıkarma bir cevap verir
Aşama 3..
Adım 4. Sonraki çifti bırakın
Karekökünü aradığınız sayının bir sonraki bölümüne, az önce bulduğunuz çıkarma değerinin yanına gidin. Ardından, sağ üst kadrandaki sayıyı iki ile çarpın ve cevabı sağ alt kadrana yazın. Az önce yazdığınız sayının yanına bir sonraki adımda yapacağınız çarpma işlemi için '"_×_="' yazarak boşluk bırakın.
Örneğimizde, sayılarımızın bir sonraki çifti "80" dir. Sol kadranda 3'ün yanına "80" yazın. Ardından, sağ üstteki sayıyı iki ile çarpın. Bu sayı 2'dir, yani 2 × 2 = 4. Sağ alt çeyreğe "'4"' yazıp ardından _×_=.
Adım 5. Sağ kadrandaki boşlukları doldurun
Sağ kadranda az önce yazdığınız tüm boşlukları aynı tam sayı ile doldurmanız gerekir. Bu tam sayı, sağ çeyrekteki çarpımı soldaki sayıdan küçük veya ona eşit yapan en büyük tam sayı olmalıdır.
Örneğimizde boşlukları 8 ile dolduruyoruz ve 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384 elde ediyoruz. Bu değer 384'ten büyük. Dolayısıyla 8 çok büyük ama 7 işe yarayabilir. Boşluklara 7 yazın ve çözün: 4(7) × 7 = 329. 329 380'den küçük olduğu için 7 doğru bir sayıdır. Sağ üst çeyreğe 7 yazın. Bu, 780, 14'ün karekökündeki ikinci basamaktır
Adım 6. Az önce hesapladığınız sayıyı şimdi soldaki sayıdan çıkarın
Uzun bölme yöntemini kullanarak çıkarma zincirine devam edin. Cevaplarınızı aşağıya yazarken, sağ kadrandaki problemin ürününü alın ve şimdi soldaki sayıdan çıkarın.
Örneğimizde, sonucu veren 380'den 329 çıkaracağız. 51.
Adım 7. Adım 4'ü tekrarlayın
Karekökünü aradığınız sayının sonraki kısmını türetiniz. Numaranızdaki ondalık basamağa ulaştığınızda, sağ üst çeyreğe cevabınızın ondalık noktasını yazın. Ardından sağ üstteki sayıyı 2 ile çarpın ve yukarıdaki gibi boş çarpma probleminin ("_ × _") yanına yazın.
Örneğimizde, şimdi 780, 14'teki ondalık nokta ile uğraştığımız için, sağ üstteki mevcut cevabımızdan sonra ondalık noktayı yazın. Ardından, sol kadranda bir sonraki çifti (14) aşağı indirin. Sağ üstteki (27) sayının iki katı 54'e eşittir, bu nedenle sağ alt kadranda "54 _×_=" yazın
Adım 8. Adım 5 ve 6'yı tekrarlayın
Sağdaki boşlukları dolduracak en büyük basamağı bulun; bu, o anda soldaki sayıya eşit veya daha küçük bir cevap verir. Ardından, sorunu çözün.
Örneğimizde, soldaki sayıdan (5114) küçük veya ona eşit olan 549 × 9 = 4941. 549 × 10 = 5490 çok büyük, yani cevabınız 9. Sağ üst kadranda bir sonraki rakam olarak 9 yazın ve ürünü soldaki sayıdan çıkarın: 5114 eksi 4941 eşittir 173
Adım 9. Rakamları saymaya devam etmek için soldaki sıfır çiftini indirin ve 4, 5 ve 6. adımları tekrarlayın
Daha fazla doğruluk için cevabınızdaki yüzlerce, binlerce ve daha fazla yeri bulmak için bu işleme devam edin. İstediğiniz ondalık basamağı bulana kadar bu döngüyü kullanmaya devam edin.
Süreci Anlamak
Adım 1. Karekökünü hesapladığınız sayıyı bir karenin S alanı olarak hayal edin
Karenin alanı P olduğundan2 P kenarlardan birinin uzunluğu olduğunda, sayınızın karekökünü bulmaya çalışarak, aslında karenin o kenarının P uzunluğunu hesaplamaya çalışıyorsunuz.
Adım 2. Cevabınızın her basamağı için harf değişkenlerini belirleyin
A değişkenini P'nin ilk basamağı olarak ayarlayın (hesaplamaya çalıştığımız karekök). B ikinci hane, C üçüncü hane vb.
Adım 3. Başlangıç numaranızın her bölümü için harf değişkenlerini belirleyin
S değişkenini ayarlaa S'deki ilk basamak çifti için (başlangıç değeriniz), SB ikinci basamak çifti için vb.
Adım 4. Bu yöntem ile uzun bölme arasındaki ilişkiyi anlayın
Bu karekök bulma yöntemi, temel olarak, ilk numaranızı karekökü bölerek size cevabın karekökünü veren uzun bir bölme problemidir. Tıpkı uzun bölme probleminde olduğu gibi, her adımda yalnızca bir sonraki rakamla ilgileniyorsunuz. Bu şekilde, her adımda yalnızca sonraki iki basamakla ilgilenirsiniz (bu, karekök için her adımda bir sonraki basamaktır).
Adım 5. Kare değeri S'den küçük veya ona eşit olan en büyük sayıyı buluna.
Cevabımızdaki A'nın ilk basamağı, kare değeri S'yi aşmayan en büyük tam sayıdır.a (yani A ki A² Sa < (A+1)²). Örneğimizde, Sa = 7 ve 2² 7 < 3², yani A = 2.
Örneğin, 88962'yi uzun bölme kullanarak 7'ye bölmek istiyorsanız, ilk adımların hemen hemen aynı olduğunu unutmayın: 88962'nin ilk basamağını (8'dir) göreceksiniz ve en büyük basamağı arıyorsunuz. ki, 7 ile çarpıldığında, 8'den küçük veya 8'e eşittir. Temel olarak, 7×d 8 < 7×(d+1) olacak şekilde d'yi arıyorsunuz. Bu durumda, d 1'e eşit olacaktır
Adım 6. Alanı üzerinde çalışmaya başlamak üzere olduğunuz karenin değerini hayal edin
Cevabınız, başlangıç numaranızın karekökü, karenin uzunluğunu S alanıyla (başlangıç numaranız) tanımlayan P'dir. A, B, C notlarınız P değerindeki rakamları temsil eder. Bunu söylemenin başka bir yolu 10A + B = P (iki basamaklı bir cevap için), 100A + 10B + C = P (üç- için) basamaklı cevap), vb.
Örneğimizde, (10A+B)² = P2 = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B'nin B birler konumunda ve A onlar konumunda olmak üzere cevabımızı P temsil ettiğini unutmayın. Örneğin, A=1 ve B=2 olduğunda, 10A+B 12'ye eşittir. (10A+B)² karenin toplam alanı iken, 100A² içindeki en büyük karenin alanı, B² içindeki en küçük karenin alanıdır ve 10A×B kalan iki dikdörtgenin alanıdır. Bu uzun ve dolambaçlı işlemi yaparak, içindeki kare ve dikdörtgenlerin alanlarını toplayarak bir karenin toplam alanını buluyoruz.
Adım 7. S'den A²'yi çıkarına.
Bir çift rakamı azaltın (SB) of S. S değeria SB daha büyük iç kareyi çıkarmak için kullandığınız karenin toplam alanına yakın. Geri kalan, 4. adımda elde ettiğimiz N1 sayısı olarak düşünülebilir (örneğimizde N1 = 380). N1 eşittir 2&çarp:10A×B + B² (iki dikdörtgenin alanı artı küçük karenin alanı).
Adım 8. N1 = (2×10A + B) × B olarak da yazılan N1 = 2×10A×B + B²'yi bulun
Örneğimizde, N1 (380) ve A(2)'yi zaten biliyorsunuz, bu nedenle B'yi bulmanız gerekiyor. B büyük olasılıkla bir tam sayı değildir, bu nedenle gerçekten en büyük B tamsayısını bulmanız gerekir, öyle ki (2×10A + B) × B N1. Yani: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).)
Adım 9. Bitirin
Bu denklemi çözmek için A'yı 2 ile çarpın, sonucu onlar konumuna kaydırın (10 ile çarpmanın eşdeğeri), B'yi birler konumuna getirin ve sayıyı B ile çarpın. Başka bir deyişle, çözün (2×10A + B) × B. Adım 4'te sağ alt çeyreğe "N_×_=" (N=2×A ile) yazdığınızda tam olarak bunu yaparsınız. 5. adımda, buna karşılık gelen en büyük B tamsayısını bulursunuz. altındaki sayı öyle ki (2× 10A + B) × B N1.
Adım 10. Toplam alandan (2×10A + B) × B alanını çıkarın
Bu çıkarma, hesaplanmamış (ve aynı şekilde bir sonraki basamağı hesaplamak için kullanılacak olan) S-(10A+B)² alanıyla sonuçlanır.
Adım 11. Bir sonraki basamak olan C'yi hesaplamak için işlemi tekrarlayın
Sonraki çifti indirin (SCSoldaki N2'yi elde etmek için S'nin) ve en büyük C'yi bulun, böylece (2×10×(10A+B)+C) × C N2 (iki basamaklı "AB" sayısının iki katı ve ardından yazmaya eşdeğer) "_× _=". Daha önce olduğu gibi, N2'ye eşit veya daha küçük bir yanıt veren boşluklardaki eşleşen en büyük basamağı bulun.
İpuçları
- Bir sayıdaki iki basamağın katları (100'ün katı) bir ondalık noktayı taşımak, bir ondalık noktayı karekökündeki bir basamağın katı (10'un katı) kadar taşımak anlamına gelir.
- Bu örnekte 1,73 "kalan" olarak kabul edilebilir: 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Bu yöntem, yalnızca 10 tabanı (ondalık) için değil, herhangi bir taban için kullanılabilir.
- Sizin için daha uygun olan hesabı kullanabilirsiniz. Bazı insanlar sonucu ilk sayının üstüne yazar.
- Tekrarlanan kesirleri kullanmanın alternatif bir yolu şu formülü takip etmektir: z = (x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Örneğin 780, 14'ün karekökünü hesaplamak için, kare değeri 780'e en yakın olan tam sayı 14, 28 yani z=780, 14, x=28 ve y=-3, 86. ve sadece x + y/(2x) için tahminleri hesaplamak (en basit ifadeyle) 78207/20800 veya yaklaşık 27, 931(1) verir; sonraki dönem, 4374188/156607 veya yaklaşık 27, 930986(5). Her terim, önceki ondalık basamak sayısının doğruluğuna yaklaşık 3 ondalık basamak ekler.
