Bazen göz korkutucu görünse de, karekök sorununu çözmek aslında o kadar da zor değil. Basit karekök problemleri genellikle temel çarpma ve bölme problemleri kadar kolay çözülebilir. Daha karmaşık sorular için biraz ekstra çaba gerekir. Ancak doğru yaklaşımla, herhangi bir zor sorun çözülebilir. Bu makale sayesinde karekök problemlerini birkaç kolay adımda çözmenize yardımcı olacağız.
Adım
Bölüm 1/3: Kareleri ve Karekökleri Anlama
Adım 1. Kare, sayının kendisi ile çarpılan sayıdır
Karekökü anlamak için önce karenin anlamını anlamak iyidir. Basitçe söylemek gerekirse, bir kare, sayının kendisi ile çarpılan bir sayıdır. Örneğin, 3'ün karesi 3 çarpı 3 = 9'dur ve 9'un karesi 9 çarpı 9 = 81'dir. Kare, sayının karesinin sağ üst köşesindeki küçük 2 ile temsil edilir - şöyle: 32, 92, 1002, vesaire.
Bu kavramı test etmek için diğer sayıların karesini almayı deneyin. Unutmayın, bir sayının karesini almak, bir sayıyı kendisiyle çarpmaktır. Negatif sayıların karesini bile alabilirsiniz. Sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Örneğin, -82 = -8 × -8 = 64.
Adım 2. Karekök, karenin tersidir
Karekök sembolü (√, "radikal" sembol olarak da bilinir) esasen sembolün tersidir. 2. Bir radikal bulduğunuzda kendinize şunu sorun: Hangi sayının karesi alınırsa, radikal içindeki sayı ile sonuçlanır? Örneğin, √(9)'a bakarsanız, karesinin dokuz olduğu sayıyı bulun. Dolayısıyla cevap "üç" çünkü 32 = 9.
-
Başka bir örnek olarak, 25'in (√(25)) karekökünü bulmaya çalışalım. Yani, karesi alındığında sonucu 25 olan bir sayı arıyoruz. Çünkü 52 = 5 × 5 = 25, sonra (25) =
Adım 5..
-
Karekök, kareyi "geri almak" olarak da düşünülebilir. Örneğin, 64'ün karekökünü (64) bulmak istiyorsak, 64'ü 8 olarak düşünün.2. Karekök sembolü esasen kare sembolünü “olumsuz” kıldığı için, bu nedenle (64) = (82) =
Adım 8..
Adım 3. Mükemmel ve kusurlu kareler arasındaki farkı bilin
Şimdiye kadar karekök hesaplamalarımızın sonuçları tam sayılardı. Daha sonra karşılaşacağınız sorular o kadar kolay olmayacak, virgül arkasında birkaç basamaklı ondalık sayı cevapları olan sorular olacaktır. Karesi alındıktan sonra yuvarlanan sayılara (yani, kesirli veya ondalık sayılar değil) "tam kareler" de denir. Önceki örneklerin tümü (9, 25 ve 64) tam karelerdir çünkü kareleri alınırsa sonuç bir tam sayıdır (3, 5 ve 8).
Öte yandan, karesi alındıktan sonra yuvarlanmayan sayılar "eksik kareler"dir. Genellikle, karesini aldıktan sonra sonuç kesirli veya ondalık bir sayıdır. Bazen sayılar bile çok karmaşık görünür, örneğin (13) = 3, 605551275464…
Adım 4. 1-12 arasındaki sayıların karesini ezberleyin
Bildiğiniz gibi, bir tam kare sayının karesini almak çok kolaydır. 1-12 arasındaki sayıların karelerini ezberlemek çok faydalı olabilir çünkü bu sayılar problemde çokça karşımıza çıkacaktır. Böylece sorular üzerinde çalışırken zamandan tasarruf edeceksiniz. İlk 12 kare sayı:
-
12 = 1 × 1 =
Aşama 1.
-
22 = 2 × 2 =
Adım 4.
-
32 = 3 × 3 =
Adım 9.
-
42 = 4 × 4 =
Adım 16.
-
52 = 5 × 5 =
Adım 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Adım 5. Mükemmel kareleri kaldırarak karekökü basitleştirin
Özellikle hesap makinesi kullanmıyorsanız, kusurlu bir kare sayının karekökünü bulmak zor olabilir. Ancak, karesi alınacak sayı, hesaplamayı kolaylaştırmak için basitleştirilebilir. Bunu yapmak için, kök içindeki sayıyı birkaç faktöre ayırın, ardından tam kare sayıların karekökünü çıkarın ve cevabı kök dışına yazın. Bu yöntemi yapmak oldukça kolaydır - size daha iyi bir anlayış sağlamak için işte daha fazla açıklama:
- Diyelim ki 900'ün karekökünü hesaplamak istiyoruz. Yani, basitçe 900'ü çarpanlarına ayırın. "Faktörler", başka bir sayı üretmek için birlikte çarpılabilen sayılardır. Örneğin, 6 sayısı ile 1 × 6 ve 2 × 3 çarpılarak elde edilebilir, dolayısıyla 6'nın çarpanları 1, 2, 3 ve 6'dır.
- Bu prensibi göz önünde bulundurarak, 900'ü çarpanlarına ayıralım. Başlangıç olarak 900'ü 9×100 olarak yazıyoruz. 9 tam kare olduğundan 100'ün karekökünü ayrı ayrı alabiliriz. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Başka bir deyişle, (900) = 3√(100).
-
100'ü çarpanlarına ayırarak daha da sadeleştirebiliriz, yani 25 ve 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Bu nedenle (900) = hesaplanabilir. 3(10) =
Adım 30..
Adım 6. Negatif bir sayının karekökü için hayali bir sayı kullanın
Düşünün, sonucun karesi -16 ise hangi sayı? Cevap hayır. Tüm sayıların karesi alındığında sonuç her zaman pozitiftir, çünkü negatiftir (-), negatif ile çarpıldığında sonuç pozitiftir (+). Bu nedenle, negatif bir sayının karesini almak için negatif sayıyı hayali bir sayıyla (genellikle harf veya sembol şeklinde) değiştirmemiz gerekir. Örneğin, "i" değişkeni genellikle -1'in karekökü için kullanılır. Hayali bir sayı her zaman negatif bir sayının karekökündedir.
Unutulmamalıdır ki, hayali sayılar hiçbir zaman sayılarla temsil edilmese de, yine de çeşitli şekillerde sayı olarak ele alınabilirler. Örneğin, karekökü çıkarmak için negatif bir sayının karekökü alınabilir. örneğin, ben2 = - 1
Bölüm 2/3: Uzun Bölme Stili Algoritmasını Kullanın
Adım 1. Uzun bölme problemleri gibi karekök problemlerini çözün
Zaman alıcı olmasına rağmen, zor karekök problemleri hesap makinesi olmadan çözülebilir. Bunu yapmak için uzun yığın bölmeye benzer bir yöntem (veya algoritma) kullanacağız.
- Uzun bir bölme probleminde olduğu gibi karekök problemini yazarak başlayın. Örnek bir problem olarak, bir tam sayı olmayan 6, 45'in kökünü bulun. Önce kök sembolünü (√) sonra altına karesini almak istediğimiz sayıyı yazıyoruz. Ardından, uzun istifleme bölümü gibi sayıların üzerine bir çizgi çizin. Şimdi, "√" sembolü, altta 6.45 numaralı bir kuyruğu varmış gibi görünüyor.
- Rakamları problemin üstüne yazacağız, bu yüzden biraz boşluk bıraktığınızdan emin olun.
Adım 2. Sayının basamaklarını çiftler halinde gruplayın
İlk olarak, radikalin altındaki sayının basamaklarını ondalık noktadan başlayarak çiftler halinde gruplayın. Kolay izleme için çiftler arasında bir çeşit işaret (nokta, virgül, çizgi vb.) yapın.
Örnek problemde, 6, 45 bölünecek 6-, 45-00. Solda "kalan" rakamlar olduğunu unutmayın - bu bir sorun değil.
Adım 3. Kare değeri birinci gruptan küçük veya ona eşit olan en büyük sayıyı bulun
Soldaki gruptaki ilk sayı ile başlayın. Grupta kare değeri küçük veya eşit olan en büyük sayıyı seçin. Örneğin, grup 37 ise, 6'yı seçin çünkü 62 = 36 < 37 ama 72 = 49 > 37. Bu sayıyı ilk grubun üstüne yazın. Bu sayı, yanıtınızın ilk hanesidir.
-
Örnek problemde, 6-, 45-00'ün ilk grubu 6'dır. Karesi alındığında 6'dan küçük veya ona eşit olan en büyük sayı
Adım 2. - 22 = 4. "2" sayısını 6'nın üstüne yazın ve kuyruk bir köktür.
Adım 4. Az önce yazdığınız sayıyı çarpın, ardından aşağı indirin ve çıkarın
Cevabınızın ilk basamağını (radikalin üzerinde yazılı) alın ve çarpın. Cevabı ilk grubun altına yazın ve farkı bulmak için çıkarın. Bir sonraki grubu az önce hesapladığınız farkın sağına bırakın. Son olarak, cevabınızın ilk rakamının çarpımının son basamağını sola yazın ve sağ tarafa bir boşluk bırakın.
Örnek problemde, iki katına çıkan sayı 2'dir (önceki cevabın ilk basamağı). 2 × 2 = 4. Ardından, 4'ü 6'ya çıkarın (birinci gruptan). 6 - 4 sonuç 2. Sonra, bir sonraki grubu (45) aşağı indirin ve 245 elde ederiz. Son olarak, 4 sayısını tekrar sola yazın ve sağda şu şekilde biraz boşluk bırakın: 4_
Adım 5. Boşluğu doldurun
Sol tarafa yazdığınız sayının sağındaki rakamları ekleyin. Bu yeni sayı ile çarpıldığında en büyük değeri veren, ancak yine de “türetilen sayıdan” küçük veya ona eşit olan basamağı seçin. Örneğin “türetilen sayı” 1700 ve solunuzdaki sayı 40_ ise girilmesi gereken sayı “4” çünkü 404 × 4 = 1616 < 1700 iken 405 × 5 = 2025. bu adım cevabınızın ikinci basamağıdır, bu yüzden onu radikal sembolün üzerine yazın.
-
Örnek problemde, cevabı en büyük sayı olan ancak 245'ten küçük veya eşit olan 4_ × _ yanındaki sayıyı arayacağız. Cevap
Adım 5.. 45 × 5 = 225, 46 × 6 = 276.
Adım 6. Cevabınızı bulmak için “boşluk” rakamlarını kullanmaya devam edin
Elde edilen sayıların çıkarmaları arasındaki fark sıfır olana veya oldukça doğru bir sayı elde edilene kadar uzun istifleme bölme düzenine devam edin. Bitirdiğinizde, her adımda boşlukları doldurmak için kullandığınız sayılar (artı kullandığınız ilk sayı), cevabınızın her basamağını oluşturur.
-
Örnek problemde, 20'yi elde etmek için 245'ten 220'yi çıkarın. Ardından, sonraki basamak grubunu 00'ı indireceğiz ve 2000 elde edeceğiz. Kök sembolün üzerindeki sayıyı çarparsak 25 × 2 = 50 elde ederiz. Doldurmak için 50_ × _ =/< 2.000'deki boşluklarda sayıyı alıyoruz
Aşama 3.. Şimdi, radikal sembolün üzerinde "253" var - bu işlemi tekrar edin ve sonraki basamakta 9 olsun.
Adım 7. Orijinden ondalık işareti kaldırın
Son yanıtı almak için ondalık noktayı doğru konuma getirin. Çok kolay - sadece ondalık noktayı, radikal sembolün altındaki ondalık nokta ile aynı hizaya getirin. Örneğin, kökün altındaki sayı 49, 8'dir, bu nedenle 8 ve 9'un üzerindeki sayıların arasına bir ondalık nokta koyun.
Örnek problemde, kökün altındaki sayı 6, 45 ise, ondalık nokta 2 ve 5 rakamları arasında olacaktır. 2, 539.
Bölüm 3/3: Kusurlu Kareleri Hızla Tahmin Etme
Adım 1. Yaklaşımı kullanarak kusurlu kareyi bulun
Tam kareleri ezberledikten sonra, kusurlu kareleri bulmak çok daha kolay olacaktır. İşin püf noktası, aradığınız sayıdan önce ve sonra tam bir kare bulmaktır. Ardından, iki tam kareden hangisinin aradığınız sayıya en yakın olduğunu belirleyin.
Örneğin, 40'ın karekökünü bulmak istiyoruz. 40'tan önceki ve sonraki mükemmel kare sayı 6'dır.2 ve 7236 ve 49'dur. 40, 36'dan büyük ve 49'dan küçük olduğundan, 40'ın karekökü 6 ile 7 arasında olmalıdır. 40 sayısı 36'ya 49'dan daha yakındır, dolayısıyla 40'ın karekökü 6'ya yakındır. İşte doğru cevabı bulmak için birkaç adım.
Adım 2. Virgülden sonra karekökü bir basamak olarak tahmin edin
Aradığınız sayıdan önce ve sonra iki tam kare sayı belirlediğinizde, gerisi virgül arkasında cevaba en yakın sayıyı bulma işlemidir. Virgülden sonra tahmini tek basamaklı sayı ile başlayın. Bu işlem, istediğiniz doğrulukta bir cevap alana kadar tekrar etmeye devam edecektir.
Örnek problemde, 40'ın karekökünün makul tahmini şudur: 6, 4, çünkü cevap büyük olasılıkla 7'den 6'ya daha yakın.
Adım 3. Tahmini numaranızı sayının kendisi ile çarpın
Başka bir deyişle, yaklaşık sayınızın karesini alın. Şanslıysanız, sonuç problemdeki sayı olacaktır. Değilse, problemdeki sayıya en yakın kareyi bulana kadar virgülden sonra sayıları toplamaya veya çıkarmaya devam edin.
- 6, 4 × 6, 4 = elde etmek için 6, 4 ile 6, 4'ü çarpın 40, 96bu da 40'ın biraz üzerinde.
- İlk deney gereksiz olduğundan, yaklaşıklığınızı 6, 3 × 6, 3 = olan bir ondalık basamakla çıkarın. 39, 69. Bu sonuç problemdeki sayının biraz altındadır. Bu, 40'ın karekökünün 6, 3 ve 6, 4 arasında olduğu anlamına gelir. O zaman, 39.69, 40'a daha yakın olduğu için, 40'ın karekökü de 6, 3'e yakındır.
Adım 4. Tahmini gerektiği gibi iletin
Yeterince doğru olduğunu düşünüyorsanız cevabınızı kullanın. Ama değilse, virgülden sonra üç veya dört basamaklı bir yanıt bulana kadar - her neyse, istediğiniz doğruluk düzeyine ulaşana kadar - yukarıdaki yaklaşık kalıba devam edin.
