Genellikle "s" değişkeni verilen mesafe, iki nokta arasında düz bir çizgi olan bir boşluk ölçümüdür. Mesafe, iki hareket ettirilemeyen nokta arasındaki boşluğu ifade edebilir (örneğin, bir kişinin yüksekliği, ayaklarının altından başının üstüne olan mesafedir) veya hareket halindeki bir nesnenin mevcut konumu ile hareket halindeki konumu arasındaki boşluğu ifade edebilir. nesnenin hareket etmeye başladığı ilk konum. Mesafe problemlerinin çoğu denklemle çözülebilir. s = v × t, burada s mesafedir, v ortalama hızdır ve t zamandır veya s = ((x2 - x1)2 + (y2 -y1)2), nerede (x1, y1) ve (x2, y2) iki noktanın x ve y koordinatlarıdır.
Adım
Yöntem 1/2: Ortalama Hız ve Süre ile Mesafeyi Hesaplama
Adım 1. Ortalama hız ve zaman değerlerini bulun
Hareket eden bir cismin kat ettiği mesafeyi hesaplamaya çalışırken, bu hesaplama için önemli olan iki bilgi vardır: hız (veya hız) ve zaman hareketli nesnenin seyahat ettiğini. Bu bilgi ile cismin kat ettiği mesafeyi s = v × t formülünü kullanarak hesaplamak mümkündür.
Uzaklık formülünü kullanma sürecini daha iyi anlamak için bu bölümde örnek bir problem çözelim. Diyelim ki bir yolda saatte 120 mil (saatte yaklaşık 193 km) hızla ilerliyoruz ve yarım saatte ne kadar yol kat edeceğimizi bilmek istiyoruz. Kullanmak saatte 120 mil ortalama hızın değeri olarak ve 0,5 saat zamanın değeri olarak, bu sorunu bir sonraki adımda çözeceğiz.
Adım 2. Ortalama hızı zamanla çarpın
Hareket eden bir cismin ortalama hızını ve kat ettiği süreyi bildikten sonra, kat ettiği mesafeyi hesaplamak nispeten kolaydır. Cevabı bulmak için sadece iki değeri çarpın.
- Ancak, ortalama hız değerinde kullanılan zaman birimi, zaman değerinde kullanılandan farklıysa, bunu eşleştirmek için değiştirmeniz gerekeceğini unutmayın. Örneğin, saatte km cinsinden ölçülen bir ortalama hız değerimiz ve dakika cinsinden ölçülen bir zaman değerimiz olsaydı, saate dönüştürmek için zaman değerini 60'a bölmeniz gerekirdi.
- Örnek problemimizi bitirelim. 120 mil/saat × 0,5 saat = 60 mil. Zaman değerindeki (saat) birimlerin, ortalama hızın (saat) paydasını çıkardığını ve yalnızca mesafe (mil) birimlerini bıraktığını unutmayın.
Adım 3. Başka bir değişkeni hesaplamak için denklemi değiştirin
Temel uzaklık denkleminin (s = v × t) basitliği, uzaklık dışındaki bir değişkenin değerini bulmak için denklemi kullanmayı kolaylaştırır. Cebirin temel kurallarına göre bulmak istediğiniz değişkeni izole edin, ardından üçüncü değişkenin değerini bulmak için diğer iki değişkenin değerlerini girin. Başka bir deyişle, nesnenin ortalama hızını hesaplamak için denklemi kullanın. v = s/t ve nesne tarafından geçen süreyi hesaplamak için denklemi kullanın t = s/v.
- Örneğin, bir arabanın 50 dakikada 60 mil gittiğini biliyoruz, ancak nesne hareket ederken ortalama hız için bir değerimiz yok. Bu durumda, temel uzaklık denkleminde v = d/t elde etmek için v değişkenini izole edebiliriz, ardından 1.2 mil/dakika cevabını almak için sadece 60 mil / 50 dakikayı bölebiliriz.
- Örnekte, hız cevabının alışılmadık bir birime (mil/dakika) sahip olduğunu unutmayın. Daha yaygın mil/saat cinsinden bir yanıt almak için sonucu elde etmek için 60 dakika/saat ile çarpın. 72 mil/saat.
Adım 4. Uzaklık formülündeki “v” değişkeninin ortalama hıza karşılık geldiğine dikkat edin
Temel mesafe formülünün bir nesnenin hareketinin basitleştirilmiş bir görünümünü sunduğunu anlamak önemlidir. Uzaklık formülü, hareket halindeki bir nesnenin sabit bir hızı olduğunu varsayar - başka bir deyişle, hareket halindeki bir nesnenin tek, değişmeyen bir hızı olduğunu varsayar. Akademik bir ortamda karşılaşabileceğiniz gibi soyut matematik problemleri için, bazen bu varsayımı kullanarak bir nesnenin hareketini modellemek hala mümkündür. Bununla birlikte, gerçek hayatta, bu örnekler genellikle hareket eden nesnelerin hareketini doğru bir şekilde yansıtmaz; bunlar aslında zamanla hızlanabilir, yavaşlayabilir, durabilir ve tersine dönebilir.
- Örneğin, yukarıdaki örnek problemde, 60 mili 50 dakikada kat etmek için saatte 72 mil hızla gitmemiz gerektiği sonucuna vardık. Ancak bu, yalnızca tüm yolculuk boyunca tek bir hızda seyahat ediliyorsa geçerlidir. Örneğin, yolculuğun yarısı için 80 mil/saat ve kalan yarısı için 64 mil/saat hızla seyahat ederek, yine de 60 mili 50 dakikada kat edeceğiz - 72 mil/saat = 60 mil/50 dakika = ????
- Türevleri kullanan matematiğe dayalı çözümler, hızdaki değişiklikler mümkün olduğundan, gerçek durumlarda bir nesnenin hızını tanımlamak için genellikle mesafe formüllerinden daha iyi bir seçimdir.
Yöntem 2/2: İki Nokta Arasındaki Mesafeyi Hesaplama
Adım 1. İki noktanın iki uzaysal koordinatını bulun
Hareket eden bir cismin kat ettiği mesafeyi hesaplamak yerine, iki hareketsiz cisim arasındaki mesafeyi hesaplamanız gerekiyorsa ne olur? Böyle bir durumda yukarıda açıklanan hıza dayalı uzaklık formülü çalışmayacaktır. Neyse ki, iki nokta arasındaki düz çizgi mesafesini kolayca hesaplamak için farklı mesafe formülleri kullanılabilir. Ancak bu formülü kullanmak için iki noktanın koordinatlarını bilmeniz gerekir. Tek boyutlu mesafeler işleniyorsa (sayı doğrusunda olduğu gibi), koordinatlar iki sayıdan oluşacaktır, x1 ve x2. Mesafeleri iki boyutta ele alıyorsanız, iki değere (x, y), (x) ihtiyacınız olacaktır.1, y1) ve (x2, y2). Son olarak, üç boyut için (x) değerine ihtiyacınız olacaktır.1, y1, z1) ve (x2, y2, z2).
Adım 2. İki noktanın koordinat değerlerini çıkararak tek boyutlu mesafeyi hesaplayın
Her noktanın değerini zaten bildiğinizde, iki nokta arasındaki tek boyutlu mesafeyi hesaplamak kolaydır. Sadece formülü kullan s = |x2 - x1|. Bu formülde, x'i çıkarırsınız1 x'ten2, sonra x arasındaki mesafeyi bulmak için cevabınızın mutlak değerini alın1 ve x2. Genellikle, iki nokta bir çizgi veya sayı ekseni üzerinde olduğunda tek boyutlu mesafe formülünü kullanmak istersiniz.
- Bu formülün mutlak değerler kullandığını unutmayın (sembol " | |"). Mutlak değer, yalnızca sembolün içindeki değerin negatif olması durumunda pozitif olacağı anlamına gelir.
-
Örneğin, tamamen düz bir otoyolda yolun kenarında durduğumuzu varsayalım. 5 mil önümüzde bir şehir ve 1 mil arkamızda başka bir şehir varsa, iki şehir ne kadar uzakta? 1. şehri x olarak ayarlarsak1 = 5 ve şehir 2 x olarak1 = -1, iki şehir arasındaki mesafe olan s'yi şu şekilde hesaplayabiliriz:
- s = |x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 mil.
Adım 3. Pisagor teoremini kullanarak iki boyutlu mesafeyi hesaplayın
İki boyutlu uzayda iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak tek boyutlu uzayda olduğundan daha karmaşıktır, ancak zor değildir. Sadece formülü kullan s = ((x2 - x1)2 + (y2 -y1)2). Bu formülde, iki x-koordinatını çıkarın, karekökü hesaplayın, iki y-koordinatını çıkarın, karekökü hesaplayın, sonra iki sonucu toplayın ve iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için karekökü hesaplayın. Bu formül iki boyutlu bir düzlem için geçerlidir - örneğin, normal bir x/y grafiğinde.
- İki boyutlu uzaklık formülü, sağdaki üçgenin hipotenüs uzunluğunun diğer iki taraftaki karenin kareköküne eşit olduğunu belirten Pisagor teoremini kullanır.
- Örneğin, x-y düzleminde iki noktamız olduğunu varsayalım: (3, -10) ve (11, 7) sırasıyla bir dairenin merkezini ve daire üzerindeki bir noktayı temsil eder. İki nokta arasındaki düz çizgi mesafesini bulmak için aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 -y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Adım 4. İki boyutlu uzaklık formülünü değiştirerek üç boyutlu uzaklığı hesaplayın
Üç boyutta, noktaların x ve y koordinatlarına ek olarak z koordinatları vardır. Üç boyutlu uzayda iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için s = ((x2 - x1)2 + (y2 -y1)2 + (z2 -z1)2). Bu, yukarıda açıklanan ve z-koordinatını içeren iki boyutlu uzaklık formülünün değiştirilmiş bir şeklidir. İki z-koordinatını çıkarmak, karekökü hesaplamak ve formülün geri kalanıyla devam etmek, son cevabınızın iki nokta arasındaki üç boyutlu mesafeyi temsil etmesini sağlar.
- Örneğin, iki asteroit arasında uzayda yüzen astronotlar olduğumuzu varsayalım. Bir asteroit yaklaşık 8 km ileride, 2 km sağda ve 5 km altımızda, diğeri ise yaklaşık 3 km geride, 3 km solda ve 4 km üstümüzde. İki asteroitin konumlarını (8, 2, -5) ve (-3, -3, 4) koordinatlarıyla temsil edersek, aralarındaki mesafeyi şu şekilde hesaplayabiliriz:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
