Hız, bir cismin belirli bir yöndeki hızı olarak tanımlanır. Birçok durumda hızı bulmak için v = s/t denklemini kullanabiliriz, burada v hıza eşittir, s nesnenin başlangıç konumundan hareket ettiği toplam mesafeye eşittir ve t eşittir zamana eşittir. Ancak bu yöntem, nesnenin yer değiştirmesi üzerinden yalnızca "ortalama" hız değerini verir. Kalkülüs kullanarak, bir nesnenin yer değiştirmesi boyunca herhangi bir noktada hızını hesaplayabilirsiniz. Bu değer "anlık hız" olarak adlandırılır ve denklem ile hesaplanabilir. v = (ds)/(dt), veya başka bir deyişle, nesnenin ortalama hızı için denklemin türevidir.
Adım
Yöntem 1/3: Anlık Hızı Hesaplama
Adım 1. Nesnenin yer değiştirmesinin hızı denklemiyle başlayın
Bir nesnenin anlık hızının değerini elde etmek için, önce belirli bir zamanda konumunu (yer değiştirmesi cinsinden) tanımlayan bir denklemimiz olmalıdır. Bu, denklemin bir değişkeni olması gerektiği anlamına gelir. s (tek başına duran) bir tarafta ve T diğer yandan (ancak bağımsız olması gerekmez), şöyle:
s = -1.5t2+10t+4
-
Denklemde değişkenler şunlardır:
-
-
yer değiştirme = s. Bu, cismin başlangıç noktasından itibaren kat ettiği mesafedir. Örneğin, bir nesne 10 metre ileri ve 7 metre geri gidiyorsa, kat edilen toplam mesafe 10 - 7 = 3 metre (10 + 7 = 17 metre değil).
-
zaman = t. Bu değişken kendini açıklayıcıdır. Genellikle saniye cinsinden ifade edilir. # Denklemin türevini alın. Bir denklemin türevi, belirli bir noktadan eğim değerini verebilen başka bir denklemdir. Bir nesnenin yer değiştirmesi için formülün türevini bulmak için, aşağıdaki genel kuralı kullanarak fonksiyonu türetiniz: y = a*x ise , Türev = a*n*xn-1. Bu kural, denklemin "t" tarafında bulunan herhangi bir bileşen için geçerlidir.
Anlık Hızı Hesapla Adım 2
-
-
- Başka bir deyişle, denklemin "t" tarafını soldan sağa doğru indirerek başlayın. "t" değerine her ulaştığınızda, üs değerinden 1 çıkarın ve bütünü orijinal üs ile çarpın. Herhangi bir sabit ("t" içermeyen değişkenler) 0 ile çarpıldıkları için kaybolacaktır. Bu işlem sanıldığı kadar zor değildir, örnek olarak yukarıdaki adımdaki denklemi türetelim:
s = -1.5t2+10t+4
(2)-1.5t(2-1)+ (1)10t1 - 1 + (0)4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Adım 2. "s" değişkenini "ds/dt" ile değiştirin
Yeni denkleminizin önceki denklemin türevi olduğunu göstermek için, "s"yi "ds/dt" ile değiştirin. Teknik olarak, bu gösterim "s'nin t'ye göre türevi" anlamına gelir. /dt, ilk denklemdeki herhangi bir noktada eğimin (eğim) değeridir, örneğin s = -1.5t denkleminden çizilen bir doğrunun eğimini belirlemek için2 + 10t + 4 t = 5'te, türev denklemine "5" değerini koyabiliriz.
- Kullanılan örnekte, birinci türev denklemi şimdi şöyle görünecektir:
ds/sn = -3t + 10
Adım 3. Anlık hız değerini elde etmek için t'nin değerini yeni denkleme yerleştirin
Artık türev denkleminiz olduğuna göre, herhangi bir noktadaki anlık hızı bulmak kolaydır. Tek yapmanız gereken t için bir değer seçmek ve onu türev denkleminize eklemek. Örneğin, t = 5'teki anlık hızı bulmak istiyorsanız, ds/dt = -3 + 10 türev denkleminde t'nin değerini "5" ile değiştirebilirsiniz. Ardından denklemi şu şekilde çözün:
ds/sn = -3t + 10
ds/sn = -3(5) + 10
ds/sn = -15 + 10 = - 5 metre/saniye
Yukarıda kullanılan birimin "metre/saniye" olduğuna dikkat edin. Hesapladığımız yer değiştirme metre, zaman saniye (saniye) ve hız genel olarak belirli bir zamandaki yer değiştirme olduğu için bu birimin kullanılması uygundur
Yöntem 2/3: Anlık Hızı Grafik Olarak Tahmin Etme
Adım 1. Nesnenin zaman içindeki yer değiştirmesinin bir grafiğini çizin
Yukarıdaki bölümde, türev, türettiğiniz denklem için belirli bir noktadaki eğimi bulma formülü olarak belirtilmiştir. Aslında, bir cismin yer değiştirmesini bir grafikte bir çizgi olarak temsil ederseniz, "doğrunun tüm noktalardaki eğimi, o noktadaki anlık hızının değerine eşittir."
- Bir nesnenin yer değiştirmesini tanımlamak için, zamanı temsil etmek için x'i ve yer değiştirmeyi temsil etmek için y'yi kullanın. Ardından, t'nin değerini denkleminize ekleyerek noktaları çizin, böylece grafiğiniz için s değerini elde edin, grafikte t, s'yi (x, y) olarak işaretleyin.
- Grafiğinizin x ekseninin altına yayılabileceğini unutmayın. Nesnenizin hareketini temsil eden çizgi x ekseninin altına iniyorsa, nesnenin başlangıç konumundan geriye doğru hareket ettiği anlamına gelir. Genel olarak, grafiğiniz y ekseninin arkasına ulaşmaz - çünkü hareket eden bir nesnenin hızını ölçmüyoruz!
Adım 2. Çizgide bitişik bir P ve Q noktası seçin
Bir P noktasında doğrunun eğimini bulmak için "limit almak" denen bir numara kullanabiliriz. Limiti almak, eğri çizgi üzerinde iki noktayı (P ve Q, yakındaki bir nokta) içerir ve P ve Q mesafeleri yakınlaşana kadar birçok kez birleştirerek çizginin eğimini bulur.
Diyelim ki nesnenin yer değiştirme çizgisi (1, 3) ve (4, 7) değerlerini içeriyor. Bu durumda (1, 3) noktasındaki eğimi bulmak istersek, (1, 3) = P ve (4, 7) = S.
Adım 3. P ve Q arasındaki eğimi bulun
P ve Q arasındaki eğim, P ve Q için x ekseni değer farkı boyunca P ve Q için y değerlerindeki farktır. Başka bir deyişle, H = (yQ -yP)/(xQ - xP), burada H iki nokta arasındaki eğimdir. Örneğimizde, P ile Q arasındaki eğimin değeri
H = (yQ-yP)/(xQ- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Adım 4. Q'yu P'ye yaklaştırarak birkaç kez tekrarlayın
Amacınız, bir noktaya benzemek için P ve Q arasındaki mesafeyi azaltmaktır. P ve Q arasındaki mesafe ne kadar yakınsa, P noktasındaki doğrunun eğimi o kadar yakın olur. Bunu, örnek olarak kullanılan denklemle (2, 4.8), (1.5, 3.95) ve (1.25, 3.49) Q olarak ve başlangıç noktası (1, 3) P olarak:
S = (2, 4.8):
H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8
S = (1.5, 3.95):
H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
S = (1.25, 3.49):
H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96
Adım 5. Çok küçük bir mesafe için çizginin eğimini tahmin edin
Q, P'ye yaklaştıkça, H, P noktasının eğim değerine daha da yaklaşır. Sonunda, çok küçük bir değere ulaştığında, H, P'nin eğimine eşittir. Çok küçük mesafeleri ölçemediğimiz veya hesaplayamadığımız için, P üzerindeki eğimi ancak denediğimiz noktadan netleştikten sonra tahmin edebiliriz.
- Örnekte Q'yu P'ye yaklaştırdığımızda H için 1.8, 1.9 ve 1.96 değerlerini alıyoruz. Bu sayılar 2'ye yakın olduğu için 2'nin P'nin yaklaşık eğimi olduğunu söyleyebiliriz.
- Doğrunun herhangi bir noktasındaki eğimin, doğrunun denkleminin türevine eşit olduğunu unutmayın. Kullanılan doğru, bir cismin zaman içindeki yer değiştirmesini gösterdiğinden ve önceki bölümde gördüğümüz gibi, bir cismin anlık hızı, belirli bir noktadaki yer değiştirmesinin türevi olduğundan, "2 metre/saniye" de diyebiliriz. " t = 1'deki anlık hızın yaklaşık değeridir.
Yöntem 3/3: Örnek Sorular
Adım 1. s = 5t yer değiştirme denkleminden t = 4'teki anlık hızın değerini bulun3 - 3 ton2 +2t+9.
Bu problem ilk kısımdaki örnekle aynıdır, ancak bu denklem bir güç denklemi değil, bir küp denklemidir, bu yüzden bu problemi aynı şekilde çözebiliriz.
- İlk önce denklemin türevini alıyoruz:
- Ardından, t(4) değerini girin:
s = 5t3- 3 ton2+2t+9
s = (3)5t(3 - 1) - (2)3 ton(2 - 1) + (1)2t(1 - 1) + (0)9t0 - 1
15 ton(2) - 6t(1) + 2t(0)
15 ton(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metre/saniye
Adım 2. Yer değiştirme denklemi s = 4t için (1, 3)'teki anlık hızı bulmak için grafiksel bir tahmin kullanın2 - T.
Bu problem için (1, 3)'ü P noktası olarak kullanacağız, ancak o noktaya komşu başka bir noktayı Q noktası olarak tanımlamamız gerekiyor. O zaman sadece H'nin değerini belirlememiz ve bir tahmin yapmamız gerekiyor.
- Önce Q'nun t = 2, 1.5, 1.1 ve 1.01'deki değerini bulun.
- Ardından, H değerini belirleyin:
- H değeri 7'ye çok yakın olduğu için şunu söyleyebiliriz. 7 metre/saniye(1, 3) noktasındaki yaklaşık anlık hızdır.
s = 4t2- T
t = 2:
s = 4(2)2- (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, yani S = (2, 14)
t = 1.5:
s = 4(1.5)2 - (1.5)
4(2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, yani S = (1.5, 7.5)
t = 1.1:
s = 4(1.1)2 - (1.1)
4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, yani S = (1.1, 3.74)
t=1.01:
s = 4(1.01)2 - (1.01)
4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, yani S = (1.01, 3.0704)
S = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Adım 11.
S = (1.5, 7.5):
H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
H = (4.5)/(.5) =
Adım 9.
S = (1.1, 3.74):
H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
S = (1.01, 3.0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04
İpuçları
- İvmenin değerini (zaman içinde hızdaki değişim) bulmak için, yer değiştirme fonksiyonunun türevi denklemini elde etmek için ilk bölümdeki yöntemi kullanın. Ardından, bu kez türetilmiş denkleminizden türetilmiş denklemi yeniden oluşturun. Bu size herhangi bir andaki ivmeyi bulma denklemini verecektir, tek yapmanız gereken zaman değerinizi girmek.
- Y (yer değiştirme) değerini X (zaman) ile ilişkilendiren denklem çok basit olabilir, örneğin Y= 6x + 3 Bu durumda eğim değeri sabittir ve hesaplamak için türevi bulmaya gerek yoktur., burada düz bir çizginin denklemine göre Y = mx + b 6'ya eşit olacaktır.
- Yer değiştirme mesafeye benzer, ancak bir yönü vardır, bu nedenle yer değiştirme vektörel bir miktardır, mesafe ise skaler bir miktardır. Yer değiştirme değeri negatif olabilir, ancak mesafe her zaman pozitif olacaktır.
