Matrislerin determinantı genellikle matematikte, lineer cebirde ve geometride daha yüksek bir seviyede kullanılır. Akademi dışında, bilgisayar grafik mühendisleri ve programcıları her zaman matrisleri ve belirleyicilerini kullanır. 2x2 mertebesinde bir matrisin determinantını nasıl belirleyeceğinizi zaten biliyorsanız, 3x3 mertebesinde bir matrisin determinantını belirlemek için toplama, çıkarma ve süreleri ne zaman kullanacağınızı öğrenmeniz yeterlidir.
Adım
Bölüm 1 / 2: Belirleyicilerin Belirlenmesi
3 x 3 sıra matrisinizi yazın. 3x3 mertebesinde bir A matrisi ile başlayacağız ve |A| determinantını bulmaya çalışacağız. Aşağıda, kullanacağımız matris gösteriminin genel biçimi ve matrisimizin bir örneği verilmiştir:
| a11 | a12 | a13 | 1 | 5 | 3 | |||
| m | = | a21 | a22 | a23 | = | 2 | 4 | 7 |
| a31 | a32 | a33 | 4 | 6 | 2 |
Adım 1. Bir satır veya sütun seçin
Seçiminizi referans satırı veya sütunu yapın. Hangisini seçerseniz seçin, yine aynı cevabı alacaksınız. Geçici olarak ilk satırı seçin. Bir sonraki bölümde hesaplaması en kolay seçeneği belirlemeniz için size bazı önerilerde bulunacağız.
Örnek matris A'nın ilk satırını seçin. 1 5 sayısını daire içine alın 3. Ortak gösterimde, a'yı daire içine alın.11 a12 a13.
Adım 2. İlk öğenizin satır ve sütununun üzerini çizin
Daire içine aldığınız satıra veya sütuna bakın ve ilk öğeyi seçin. Satırları ve sütunları çaprazlayın. Dokunulmamış sadece 4 numara kalacak. Bu 4 sayıyı 2 x 2 sıra matrisi yapın.
- Örneğimizde referans satırımız 1 5 3'tür. İlk eleman 1. satır ve 1. sütundadır. 1. satırın ve 1. sütunun tamamının üzerini çizin. Kalan öğeleri 2 x 2'lik bir matrise yazın:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Adım 3. 2 x 2 dereceli matrisin determinantını belirleyin
Unutmayın, matrisin determinantını belirleyin [aC BNS] tarafından reklam - bc. Bir matrisin determinantını 2 x 2 matris arasına X çizerek de öğrenmiş olabilirsiniz. X'in / doğrusu ile birbirine bağlanan iki sayıyı çarpın. NS. 2 x 2 matrisin determinantını hesaplamak için bu formülü kullanın.
- Örnekte, matrisin determinantı [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Bu belirleyici denir küçük başlangıç matrisinde seçtiğiniz öğelerin sayısı. Bu durumda, a'nın minörünü bulduk.11.
Adım 4. Seçtiğiniz öğenin bulduğu sayıyı çarpın
Hangi satırların ve sütunların üstünü çizeceğinize karar verdiğinizde, referans satırından (veya sütunundan) öğeleri seçtiğinizi unutmayın. Bu elemanı, bulduğunuz 2 x 2 matrisin determinantı ile çarpın.
Örnekte, bir seçiyoruz11 1*-34 = elde etmek için bu sayıyı -34 (2 x 2 matrisinin determinantı) ile çarpın. - 34.
Adım 5. Cevabınızın sembolünü belirleyin
Bir sonraki adım, elde etmek için cevabınızı 1 veya -1 ile çarpmanız gerektiğidir. kofaktör Seçtiğiniz öğenin Kullandığınız sembol, elemanların 3 x 3 matriste nerede olduğuna bağlıdır. Unutmayın, bu sembol tablosu elemanınızın çarpanını belirlemek için kullanılır:
- + - +
- - + -
- + - +
- Çünkü bir seçiyoruz11 + işaretliyse, sayıyı +1 ile çarpacağız (veya başka bir deyişle değiştirmeyin). Görünen cevap aynı olacak, yani - 34.
- Bir sembolü tanımlamanın başka bir yolu da (-1) formülünü kullanmaktır. i+j burada i ve j satır ve sütun öğeleridir.
Adım 6. Referans satırınızdaki veya sütununuzdaki ikinci öğe için bu işlemi tekrarlayın
Daha önce satırı veya sütunu daire içine aldığınız orijinal 3 x 3 matrisine dönün. Aynı işlemi elemanla tekrarlayın:
-
Öğenin satırını ve sütununu çizin.
Bu durumda, a öğesini seçin12 (ki bu 5 değerindedir). 1. sıranın (1 5 3) ve 2. sütunun (5 4 6) üzerini çizin.
-
Kalan öğeleri 2x2'lik bir matrise dönüştürün.
Örneğimizde, ikinci eleman için 2x2 sıra matrisi [24 72].
-
Bu 2x2 matrisin determinantını belirleyin.
ad - bc formülünü kullanın. (2*2 - 7*4 = -24)
-
Seçtiğiniz 3x3 matrisin elemanları ile çarpın.
-24 * 5 = -120
-
Yukarıdaki sonucu -1 ile çarpıp çarpmayacağınıza karar verin.
Bir sembol veya formül tablosu kullanın (-1)ij. a öğesini seçin12 sembolize edilmiş – sembol tablosunda. Cevap sembolümüzü şununla değiştirin: (-1)*(-120) = 120.
Adım 7. Üçüncü eleman için aynı işlemi tekrarlayın
Determinantı belirlemek için bir kofaktörünüz daha var. Referans satırınızdaki veya sütununuzdaki üçüncü öğe için i'yi sayın. Kofaktör a'yı hesaplamanın hızlı bir yolu:13 örneğimizde:
- 1. satırın ve 3. sütunun üzerini çizerek [24 46].
- Belirleyici 2*6 - 4*4 = -4'tür.
- a elemanı ile çarp13: -4 * 3 = -12.
- eleman bir13 sembol tablosunda + sembolü, yani cevap - 12.
Adım 8. Üç sayınızın sonuçlarını toplayın
Bu son adım. Bir satır veya sütundaki her öğe için bir tane olmak üzere üç kofaktör hesapladınız. Bu sonuçları toplayın ve 3 x 3 matrisin determinantını bulacaksınız.
Örnekte, matrisin determinantı - 34 + 120 + - 12 = 74.
Bölüm 2/2: Problem Çözmeyi Kolaylaştırma
Adım 1. En fazla 0'a sahip referans satırını veya sütununu seçin
Unutmayın, istediğiniz herhangi bir satırı veya sütunu seçebilirsiniz. Hangisini seçerseniz seçin, cevap aynı olacaktır. 0 numaralı bir satır veya sütun seçerseniz, yalnızca 0 olmayan öğelerle kofaktörü hesaplamanız gerekir, çünkü:
- Örneğin, a öğesinin bulunduğu 2. satırı seçin.21, a22, fon, sermaye23. Bu sorunu çözmek için 3 farklı 2 x 2 matris kullanacağız, diyelim ki A21, A22, Sen23.
- 3x3 matrisinin determinantı bir21|Bir21| - a22|Bir22| + bir23|Bir23|.
- Eğer bir22 fon, sermaye23 0 değeri, mevcut formül bir21|Bir21| - 0*|A22| + 0*|A23| = bir21|Bir21| - 0 + 0 = bir21|Bir21|. Bu nedenle, sadece bir elementin kofaktörünü hesaplayacağız.
Adım 2. Matris problemlerini kolaylaştırmak için fazladan satırlar kullanın
Değerleri bir satırdan alıp başka bir satıra eklerseniz matrisin determinantı değişmez. Aynı durum sütunlar için de geçerlidir. Bunu tekrar tekrar yapabilir veya matriste mümkün olduğunca çok 0 almak için eklemeden önce bir sabitle çarpabilirsiniz. Bu çok zaman kazandırabilir.
- Örneğin, 3 satırlı bir matrisiniz var: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- a konumunda olan 9 sayısını elemek için11, 2. satırdaki değeri -3 ile çarpabilir ve sonucu ilk satıra ekleyebilirsiniz. Şimdi, yeni ilk satır [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2] şeklindedir.
- Yeni matrisin satırları [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. yapmak için sütunlarda aynı numarayı kullanın.12 0 sayısı olsun.
Adım 3. Üçgen matrisler için hızlı yöntemi kullanın
Bu özel durumda determinant, bir cismin ana köşegeni üzerindeki elemanların çarpımıdır.11 sol üstte bir33 matrisin sağ alt köşesinde. Bu matris hala 3x3'lük bir matristir, ancak "üçgen" matrisin 0 olmayan özel bir sayı düzeni vardır:
- Üst üçgen matris: 0 olmayan tüm elemanlar ana köşegenin üzerinde veya üzerindedir. Ana köşegenin altındaki tüm sayılar 0'dır.
- Alt üçgen matris: 0 olmayan tüm elemanlar ana köşegenin üzerinde veya altındadır.
- Köşegen matris: 0 olmayan tüm öğeler ana köşegen üzerindedir (yukarıdaki matris türlerinin alt kümesi).
İpuçları
- Bir satır veya sütundaki tüm elemanlar 0 ise matrisin determinantı 0'dır.
- Bu yöntem, tüm ikinci dereceden matris boyutları için kullanılabilir. Örneğin, bu yöntemi 4x4 düzeyinde bir matris için kullanırsanız, "vurunuz", determinantı yukarıdaki adımlar izlenerek belirlenebilen 3x3 düzeyinde bir matris bırakacaktır. Unutmayın, bunu yapmak sıkıcı olabilir!
