Bir vektör, yalnızca büyüklükten (örneğin hız, mesafe veya enerji) oluşan bir skalerin aksine, hem büyüklüğü hem de yönü (örneğin hız, ivme ve yer değiştirme) olan fiziksel bir niceliktir. Eğer büyüklükler toplanarak skalerler toplanabiliyorsa (örneğin 5 kJ iş artı 6 kJ iş eşittir 11 kJ iş), vektörlerin toplanması veya çıkarılması biraz zordur. Vektörleri toplamanın veya çıkarmanın bazı yollarını öğrenmek için aşağıdaki Adım 1'e bakın.
Adım
Yöntem 1/3: Bileşenleri Bilinen Vektörleri Toplama ve Çıkarma
Adım 1. Vektörün boyutsal bileşenlerini vektör notasyonuna yazın
Vektörlerin büyüklüğü ve yönü olduğundan, genellikle x, y ve/veya z boyutlarına göre parçalara ayrılabilirler. Bu boyutlar genellikle bir koordinat sistemindeki (örn. ve diğerleri) bir noktayı tanımlamak için benzer bir gösterimle yazılır. Bu kısmı biliyorsanız, vektörleri toplamak veya çıkarmak çok kolaydır, sadece x, y ve z koordinatlarını ekleyin veya çıkarın.
- Vektörün boyutlarının 1, 2 veya 3 olup olmadığına dikkat edin. Böylece vektör, x, x ve y veya x, y ve z bileşenlerine sahip olabilir. Aşağıdaki örneğimizde 3 boyutlu bir vektör kullanılır, ancak süreç 1 veya 2 boyutlu vektör gibidir.
- A vektörü ve B vektörü olmak üzere iki adet 3 boyutlu vektörümüz olduğunu varsayalım. Bu vektörleri A = ve B = gibi vektör gösterimlerini kullanarak yazabiliriz, burada a1 ve a2 x bileşenleri, b1 ve b2 y bileşenleri ve c1 ve c2'dir. z bileşenleridir.
Adım 2. İki vektörü eklemek için bileşenlerini toplayın
Bir vektörün iki bileşeni biliniyorsa, her birinin bileşenlerini ekleyerek vektörleri ekleyebilirsiniz. Başka bir deyişle, birinci vektörün x bileşenini ikinci vektörün x bileşenine ekleyin ve aynısını y ve z için yapın. Bu vektörlerin x, y ve z bileşenlerini toplayarak alacağınız yanıt, yeni vektörünüzün x, y ve z bileşenleridir.
- Genel anlamda, A+B =.
- İki vektör A ve B ekleyelim. A = ve B =. A + B = veya.
Adım 3. Her iki vektörü de çıkarmak için bileşenlerini çıkarın
Daha sonra tartışacağımız gibi, bir vektörü diğerinden çıkarmak, onun karşılıklı vektörlerini toplamak olarak düşünülebilir. Her iki vektörün bileşenleri biliniyorsa, birinci bileşeni ikinci bileşenden çıkararak (veya her ikisinin negatif bileşenlerini ekleyerek) bir vektörü diğerinden çıkarmak mümkündür.
- Genel anlamda, A-B =
- A ve B vektörlerini çıkaralım. A = ve B =. A - B = veya.
Yöntem 2/3: Baş ve Kuyruk Yöntemini Kullanarak Resimlerle Toplama ve Çıkarma
Adım 1. Baş ve kuyruğu kullanarak vektörü çizerek sembolize edin
Vektörlerin hem büyüklüğü hem de yönü olduğu için kuyrukları ve kafaları olduğunu söyleyebiliriz. Başka bir deyişle, bir vektörün başlangıç noktasından uzaklığı vektörün büyüklüğüne eşit olan vektörün yönünü gösteren bir başlangıç noktası ve bir bitiş noktası vardır. Vektör çizildiğinde ok şeklini alır. Okun ucu vektörün başıdır ve vektör çizgisinin sonu kuyruktur.
Boyutlu bir vektör çizimi oluşturuyorsanız, tüm köşeleri doğru bir şekilde ölçmeniz ve çizmeniz gerekir. Görüntünün yanlış açısı, bu yöntem kullanılarak iki vektör eklendiğinde veya çıkarıldığında ortaya çıkan sonucu etkileyecektir
Adım 2. Kuyruk birinci vektörün başıyla buluşacak şekilde ikinci vektörü eklemek, çizmek veya taşımak için
Buna baştan sona vektörlerin birleştirilmesi denir. Sadece iki vektör ekliyorsanız, sonuç vektörünü bulmadan önce yapmanız gerekenler burada.
Aynı başlangıç noktasını kullandığınızı varsayarsak, vektörleri eklediğiniz sıranın önemli olmadığını unutmayın. Vektör A + Vektör B = Vektör B + Veltor A
Adım 3. Çıkarmak için vektöre negatif bir işaret ekleyin
Görüntüleri kullanarak vektörleri azaltmak çok basittir. Vektör yönünü tersine çevirin, ancak büyüklüğü aynı tutun ve vektör başınızı ve kuyruğunuzu her zamanki gibi ekleyin. Başka bir deyişle, bir vektörü çıkarmak için vektörü 180 döndürünÖ ve ekleyin.
Adım 4. İkiden fazla vektör ekler veya çıkarırsanız, tüm vektörleri baştan sona sırayla birleştirin
Birleştirme sırası önemli değil. Bu yöntem, vektör sayısından bağımsız olarak kullanılabilir.
Adım 5. İlk vektörün kuyruğundan son vektörün başına yeni bir vektör çizin
İster iki ister yüz vektör toplar/çıkarırsanız, ilk başlangıç noktanızdan (ilk vektörün kuyruğu) son vektörünüzün bitiş noktasına (son vektörünüzün başı) uzanan vektör, sonuç vektörüdür. veya tüm vektörlerinizin toplamı. Bu vektörün, tüm x, y ve/veya z bileşenlerinin toplanmasıyla elde edilen vektörle tamamen aynı olduğuna dikkat edin.
- Tüm vektörlerinizi boyuta göre çizerseniz, tüm açıları doğru bir şekilde ölçerek, uzunluk ölçerek elde edilen vektörün büyüklüğünü belirleyebilirsiniz. Yönünü belirlemek için sonuç ile herhangi bir vektör arasındaki açıyı yatay veya dikey olarak da ölçebilirsiniz.
- Tüm vektörlerinizi boyuta göre çizmezseniz, sonucun büyüklüğünü trigonometri kullanarak hesaplamanız gerekebilir. Belki Sinüs ve Kosinüs Kuralları yardımcı olur. İkiden fazla vektör eklerseniz, ilk vektörü ikinciyle eklemek, ardından ikincinin sonucunu üçüncüye eklemek ve bu şekilde devam etmek yararlı olur. Daha fazla bilgi için aşağıdaki bölümlere bakın.
Adım 6. Büyüklüğünü ve yönünü kullanarak sonuç vektörünüzü çizin
Bir vektör, uzunluğu ve yönü ile tanımlanır. Yukarıdaki gibi, vektörünüzü doğru bir şekilde çizdiğinizi varsayarsak, yeni vektörünüzün büyüklüğü uzunluğudur ve yönü, dikey veya yatay yöne göre açıdır. Elde ettiğiniz vektörün büyüklüğünün birimlerini belirlemek için eklediğiniz veya çıkardığınız birim vektörleri kullanın.
Örneğin, eklenen vektörler hızı ms cinsinden temsil ediyorsa-1, o zaman sonuç vektörü şu şekilde tanımlanabilir: "hız x ms-1 y'ye karşı Ö yatay yöne.
Yöntem 3/3: Vektör Boyut Bileşenlerini Belirterek Vektörleri Toplama ve Çıkarma
Adım 1. Bir vektörün bileşenlerini belirlemek için trigonometriyi kullanın
Bir vektörün bileşenlerini bulmak için, genellikle yatay veya dikey yöne göre büyüklüğünü ve yönünü bilmeniz ve trigonometriyi anlamanız gerekir. 2 boyutlu bir vektör varsayarak, önce vektörünüzü, iki kenarı x ve y yönlerine paralel olan bir dik üçgenin hipotenüsü olarak düşünün. Bu iki taraf, vektörünüzü oluşturmak için toplanan baştan sona bir vektörün bileşenleri olarak düşünülebilir.
- Her iki tarafın uzunlukları vektörünüzün x ve y bileşenlerine eşittir ve trigonometri kullanılarak hesaplanabilir. x bir vektör büyüklüğü ise, vektör açısına bitişik kenar (yatay, dikey ve diğer yönlere göre) xcos(θ), karşı taraf ise xsin(θ).
- Bileşenlerinizin yönünü not etmek de çok önemlidir. Bileşen negatif bir koordinatı gösteriyorsa, negatif bir işaret verilir. Örneğin, 2 boyutlu bir düzlemde, bir bileşen sola veya aşağıyı gösteriyorsa, negatiftir.
- Örneğin, büyüklüğü 3 ve yönü 135 olan bir vektörümüz olduğunu varsayalım.Ö yataya göre. Bu bilgi ile x bileşeninin 3cos(135) = olduğunu belirleyebiliriz. - 2, 12 ve y bileşeni 3sin(135) = 2, 12
Adım 2. İki veya daha fazla ilgili vektörü ekleyin veya çıkarın
Tüm vektörlerinizin bileşenlerini bulduktan sonra, sonuç vektörünüzün bileşenlerini bulmak için bunları toplayın. İlk olarak, yatay bileşenlerin (x yönüne paralel olan) tüm büyüklüklerini toplayın. Ayrı ayrı, dikey bileşenlerin (y yönüne paralel olan) tüm büyüklüklerini toplayın. Bir bileşen negatif (-) ise, büyüklüğü eklenmez çıkarılır. Aldığınız cevap, sonuç vektörünüzün bileşenidir.
Örneğin, önceki adımdaki vektör, vektöre eklenir. Bu durumda, elde edilen vektör veya olur
Adım 3. Pisagor Teoremini kullanarak elde edilen vektörün büyüklüğünü hesaplayın
Pisagor Teoremi c2= bir2+b2, bir dik üçgenin kenar uzunluğunu bulmak için kullanılır. Elde ettiğimiz vektör ve bileşenlerinin oluşturduğu üçgen bir dik üçgen olduğundan, vektörün uzunluğunu ve büyüklüğünü bulmak için kullanabiliriz. Aradığınız sonuç vektörünün büyüklüğü olarak c ile, a'nın x bileşeninin büyüklüğü ve b'nin y bileşeninin büyüklüğü olduğunu varsayalım. Cebir kullanarak çözün.
-
Bir önceki adımda bileşenlerini aradığımız vektörün büyüklüğünü bulmak için Pisagor Teoremini kullanın. Aşağıdaki gibi çözün:
- C2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- C2=13, 40+47, 33
- c=√60, 73 = 7, 79
Adım 4. Tanjant fonksiyonunu kullanarak sonuç yönünü hesaplayın
Son olarak, yönün sonuç vektörünü bulun. =tan formülünü kullanın-1(b/a) burada x veya yatay doğrultuda oluşan açının boyutu, b y bileşeninin boyutu ve a x bileşeninin boyutudur.
-
Vektörümüzün yönünü bulmak için =tan kullanın-1(b/a).
- =tan-1(-6, 88/3, 66)
- =tan-1(-1, 88)
- =-61, 99Ö
Adım 5. Bileşik vektörünüzü büyüklüğüne ve yönüne göre çizin
Yukarıda yazıldığı gibi, vektörler büyüklükleri ve yönleri ile tanımlanır. Vektör boyutunuz için uygun birimleri kullandığınızdan emin olun.
Örneğin, vektör örneğimiz bir kuvveti temsil ediyorsa (Newton cinsinden), o zaman yazabiliriz. "kuvvet 7.79 N -61.99 Ö yatay".
İpuçları
- Vektör büyükten farklıdır.
- Aynı yöne sahip vektörler, büyüklükleri toplanarak veya çıkarılarak toplanabilir veya çıkarılabilir. Eğer sen Özetle zıt iki vektör, büyüklükleri çıkarılır, toplanmaz.
- x i + y j + z k şeklinde temsil edilen vektörler, üç birim vektörün katsayıları toplanarak veya çıkarılarak toplanabilir veya çıkarılabilir. Cevap ayrıca i, j ve k şeklindedir.
- a formülünü kullanarak üç boyutlu bir vektörün boyutunu bulabilirsiniz.2=b2+c2+d2 burada a vektörün büyüklüğüdür ve b, c ve d her yönün bileşenleridir.
- Sütun vektörleri, her satırın değerleri toplanarak veya çıkarılarak toplanabilir ve çıkarılabilir.
