Bir Trinomial'i Faktoring Etmenin 3 Yolu

2024 Yazar: Jason Gerald | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-15 08:25

Üç terimli, üç terimden oluşan cebirsel bir ifadedir. Büyük olasılıkla, ikinci dereceden bir üç terimin nasıl çarpanlara ayrılacağını öğrenmeye başlayacaksınız, yani ax biçiminde yazılmış bir üç terim² + bx + c. Pek çok farklı ikinci dereceden üç terimli için kullanılabilecek öğrenilecek birkaç püf noktası vardır, ancak bunları pratikle daha iyi ve daha hızlı kullanabileceksiniz. x gibi terimlerle daha yüksek dereceli polinomlar³ veya x⁴, her zaman aynı şekilde çözülemez, ancak diğer ikinci dereceden formüller gibi çözülebilecek bir probleme dönüştürmek için genellikle basit çarpanlara ayırma veya ikame kullanabilirsiniz.

Adım

Yöntem 1/3: x'i çarpanlara ayırma² + bx + c

Adım 1. PLDT çarpmasını öğrenin

(x+2)(x+4) gibi ifadeleri çarpmak için PLDT'yi veya "First, Outside, In, Last" ile çarpmayı öğrenmiş olabilirsiniz. Çarpanlara ayırmadan önce bu çarpmanın nasıl çalıştığını bilmek yararlıdır:

• kabileleri çoğalt Öncelikle: (x+2)(x+4) = x² + _

• kabileleri çoğalt Dıştan: (x+2)(x+

  Adım 4.) = x²+ 4x + _

• kabileleri çoğalt İçinde: (x+

  Adım 2.)(x+4) = x²+4x+ 2 kere + _

• kabileleri çoğalt son: (x+

  Adım 2.)(x

  Adım 4.) = x²+4x+2x

  Adım 8.

• Basitleştirin: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Adım 2. Faktoringi anlayın

PLDT yöntemini kullanarak iki iki terimliyi çarptığınızda, a x biçiminde bir üç terimli (üç terimli bir ifade) elde edersiniz.²+ b x+ c, burada a, b ve c normal sayılardır. Aynı forma sahip bir denklemle başlarsanız, onu tekrar iki iki terimli olarak çarpanlarına ayırabilirsiniz.

• Denklemler bu sırada yazılmamışsa, denklemleri bu sıraya sahip olacak şekilde yeniden düzenleyin. Örneğin, yeniden yaz 3x - 10 + x² olur x² + 3x - 10.
• Çünkü en yüksek güç 2 (x², bu tür ifadeye ikinci dereceden denir.

Adım 3. Cevap için PLDT çarpması şeklinde bir boşluk bırakın

şimdilik sadece yaz (_ _)(_ _) cevabı nereye yazacaksın Üzerinde çalışırken dolduracağız

Henüz doğru işareti bilmediğimiz için boş terimlerin arasına + veya – yazmayın

Adım 4. İlk terimleri doldurun

Basit problemler için, üç teriminizin ilk terimi sadece x'tir.², Birinci konumdaki terimler her zaman x ve x. Bunlar x teriminin çarpanlarıdır.² çünkü x çarpı x = x².

• Örneğimiz x² + 3x - 10 x ile başlayan², böylece yazabiliriz:
• (x _)(x _)
• Bir sonraki bölümde, 6x gibi terimlerle başlayan üç terimlileri içeren daha karmaşık problemler üzerinde çalışacağız.² veya -x². Bu arada, bu örnek soruları takip edin.

Adım 5. Son terimleri tahmin etmek için faktoringi kullanın

Geri dönüp PLDT'nin nasıl çarpılacağına ilişkin adımları okursanız, Son terimleri çarpmanın polinomdaki (x'i olmayan terimler) son terimi üreteceğini göreceksiniz. Bu yüzden çarpanlara ayırmak için çarpıldığında son terimi üretecek iki sayı bulmalıyız.

• Örneğimizde x² + 3x - 10, son terim -10'dur.
• -10'un çarpanları nelerdir? Hangi sayı -10 ile çarpılır?
• Birkaç olasılık vardır: -1 kez 10, 1 kez -10, -2 kez 5 veya 2 kez -5. Bu çiftleri hatırlamak için bir yere yazın.
• Cevabımızı henüz değiştirmeyin. Cevabımız yine de şöyle görünmelidir: (x _)(x _).

Adım 6. Dış ve İç ürünle eşleşen olasılıkları test edin

Son terimleri birkaç olasılığa indirgedik. Her olasılığı test etmek için deneme sistemini kullanın, Dış ve İç terimleri çarparak ve ürünü bizim üç terimlimizle karşılaştırın. Örneğin:

• Orijinal sorunumuz 3x'te "x" terimine sahipti, bu nedenle test sonuçlarımız bu terimle eşleşmelidir.
• Testler -1 ve 10: (x-1)(x+10). Dış + İç = 10x - x = 9x. Yanlış.
• Test 1 ve -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. Bu yanlış. Aslında, -1 ve 10'u test ederseniz, 1 ve -10'un yukarıdaki cevabın tersi olduğunu görürsünüz: 9x yerine -9x.
• Testler -2 ve 5: (x-2)(x+5). 5x - 2x = 3x. Sonuç, başlangıç polinomuna karşılık gelir, işte doğru cevap: (x-2)(x+5).
• Bunun gibi basit durumlarda, x teriminin önünde bir sabitiniz yoksa², hızlı yolu kullanabilirsiniz: sadece iki faktörü toplayın ve arkasına bir "x" koyun (-2+5 → 3x). Bununla birlikte, bu yöntem daha karmaşık problemler için çalışmaz, bu nedenle yukarıda açıklanan "uzun yolu" hatırlamak daha iyidir.

Yöntem 2/3: Daha Karmaşık Üç Terimleri Çarpanlara Ayırma

Adım 1. Daha karmaşık sorunları daha basit hale getirmek için basit çarpanlara ayırmayı kullanın

Örneğin, faktör gerekir 3x² + 9x - 30. Üç terimi de çarpanlarına ayırabilecek bir sayı bulun ("en büyük ortak faktör" veya GCF). Bu durumda, GCF 3'tür:

• 3x² = (3)(x²)
• 9x = (3)(3x)
• -30 = (3)(-10)
• Böylece, 3x² + 9x - 30 = (3)(x²+3x-10). Yukarıdaki bölümdeki adımları kullanarak yeni üç terimliyi çarpanlarına ayırabiliriz. son cevabımız şu olacak (3)(x-2)(x+5).

Adım 2. Daha karmaşık faktörler arayın

Bazen çarpanlara ayırma bir değişken içerebilir veya mümkün olan en basit ifadeyi bulmak için birkaç kez çarpanlara ayırmanız gerekebilir. İşte bazı örnekler:

• 2 kere²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Yöntem 1'deki adımları kullanarak yeni üç terimliyi yeniden düzenlemeyi unutmayın. Çalışmanızı kontrol edin ve bu sayfanın alt kısmındaki örnek sorularda benzer sorun örnekleri arayın.

Adım 3. x'in önünde bir sayı olan problemleri çözün².

Bazı ikinci dereceden üç terimler, en kolay problem tipine indirgenemez. 3x gibi sorunları nasıl çözeceğinizi öğrenin² + 10x + 8, ardından bu sayfanın altındaki örnek sorularla kendi başınıza pratik yapın:

• Cevabımızı şu şekilde ayarlayın: (_ _)(_ _)
• "İlk" terimlerimizin her birinde bir x olacak ve bunları çarpmak 3x verecek². Tek bir olasılık var: (3x _)(x _).
• 8'in çarpanlarını listeleyin. Oranlar 1 çarpı 8 veya 2 çarpı 4'tür.
• Dış ve İç terimleri kullanarak bu olasılığı test edin. Dış terim x yerine 3x ile çarpıldığı için faktörlerin sırasının çok önemli olduğuna dikkat edin. Out+In = 10x elde edene kadar her olasılığı deneyin (orijinal problemden):
• (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x numara
• (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x numara
• (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x numara
• (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x Evet. Bu doğru faktördür.

Adım 4. Daha yüksek dereceli üç terimli için ikame kullanın

Matematik kitabınız, x gibi yüksek güçlü denklemlerle sizi şaşırtabilir.⁴, sorunu kolaylaştırmak için basit faktoring kullandıktan sonra bile. Nasıl çözeceğinizi bildiğiniz bir soruna dönüştüren yeni bir değişken değiştirmeyi deneyin. Örneğin:

• x⁵+13x³+36x
• =(x)(x⁴+13x²+36)
• Yeni bir değişken oluşturalım. y = x diyelim² ve içine koyun:
• (x)(y²+13y+36)
• =(x)(y+9)(y+4). Şimdi, onu ilk değişkene geri dönüştürün:
• =(x)(x²+9)(x²+4)
• = (x)(x±3)(x±2)

Yöntem 3/3: Özel Durumları Faktoring

Adım 1. Asal sayıları bulun

Üç terimlinin birinci veya üçüncü terimindeki sabitin asal sayı olup olmadığına bakın. Bir asal sayı yalnızca kendisine ve 1'e bölünebilir, bu nedenle yalnızca bir olası iki terimli çarpan çifti vardır.

• Örneğin, x'de² + 6x + 5, 5 bir asal sayıdır, bu nedenle binom (_ 5)(_ 1) biçiminde olmalıdır.
• 3x probleminde²+10x+8, 3 bir asal sayıdır, bu nedenle binom (3x _)(x _) biçiminde olmalıdır.
• sorular için 3x²+4x+1, hem 3 hem de 1 asal sayılardır, bu nedenle olası tek çözüm (3x+1)(x+1)'dir. (Cevabınızı kontrol etmek için yine de bu sayıyı çarpmanız gerekir, çünkü bazı ifadeler hiç çarpanlara ayrılamaz – örneğin, 3x²+100x+1'in çarpanı yoktur.)

Adım 2. Üç terimin tam kare olup olmadığını öğrenin

Bir tam kare üç terim, iki özdeş iki terimlinin çarpanlarına ayrılabilir ve çarpan genellikle (x+1) olarak yazılır.² ve (x+1)(x+1) değil. İşte sorularda görünme eğiliminde olan bazı örnekler:

• x²+2x+1=(x+1)²ve x²-2x+1=(x-1)²
• x²+4x+4=(x+2)²ve x²-4x+4=(x-2)²
• x²+6x+9=(x+3)²ve x²-6x+9=(x-3)²
• a x şeklinde tam kare üç terimli² + bx + c her zaman pozitif tam kareler (1, 4, 9, 16 veya 25 gibi) olan a ve c terimlerine ve 2'ye eşit olan bir b terimine (pozitif veya negatif) sahiptir (√a * √c).

Adım 3. Bir sorunun çözümü olup olmadığını öğrenin

Tüm üç terimler çarpanlara ayrılamaz. İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayıramazsanız (balta²+bx+c), cevabı bulmak için ikinci dereceden formülü kullanın. Tek cevap negatif bir sayının karekökü ise, gerçek sayı çözümü yoktur, o zaman problemin çarpanları yoktur.

Kare olmayan üç terimler için, İpuçları bölümünde açıklanan Eisenstein Kriterini kullanın

Cevaplar ve Örnek Sorular

1. "Karmaşık faktoring" sorularına cevaplar.

   Bunlar "daha karmaşık faktörler" adımındaki sorulardır. Sorunları daha kolay olanlara basitleştirdik, bu nedenle 1. yöntemdeki adımları kullanarak çözmeye çalışın, ardından çalışmanızı buradan kontrol edin:

   • (2y)(x² + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
   • (x²)(x² + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
   • (-1)(x² - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3)²

2. Daha karmaşık faktoring problemlerini deneyin.

   Bu problemler, ilk önce çarpanlara ayrılması gereken her terimde aynı çarpana sahiptir. Çalışmanızı kontrol edebilmek için cevapları görmek için eşittir işaretinden sonraki boşlukları engelleyin:

   • 3x³+3x²-6x = (3x)(x+2)(x-1) cevabı görmek için boşluğu bloke edin
   • -5x³y²+30x²y²-25y²x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)

3. Soruları kullanarak alıştırma yapın. Bu problemler daha kolay denklemlere dönüştürülemez, bu nedenle cevabı deneme yanılma yöntemini kullanarak (_x + _)(_x + _) biçiminde bulmanız gerekir:

   • 2 kere²+3x-5 = (2x+5)(x-1) blok cevabı görmek için
   • 9x²+6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1)² (İpucu: 9x için birden fazla faktör çifti denemek isteyebilirsiniz.)

   İpuçları

   • İkinci dereceden bir üç terimliyi nasıl çarpanlarına ayıracağınızı bulamıyorsanız (balta²+bx+c), x'i bulmak için ikinci dereceden formülü kullanabilirsiniz.

   • Bunu nasıl yapacağınızı bilmeniz gerekmese de, bir polinomun basitleştirilip çarpanlarına ayrılamayacağını hızlı bir şekilde belirlemek için Eisenstein Kriterlerini kullanabilirsiniz. Bu kriter herhangi bir polinom için geçerlidir, ancak en iyi şekilde trinomialler için kullanılır. Son iki terimi eşit olarak bölen ve aşağıdaki koşulları sağlayan bir p asal sayısı varsa, polinom basitleştirilemez:

     • Sabit terimler (değişkenler olmadan) p'nin katlarıdır ancak p'nin katları değildir².
     • Ön ek (örneğin, bir balta²+bx+c) p'nin katı değildir.
     • Örneğin, 14x² +45x +51 sadeleştirilemez çünkü hem 45'e hem de 51'e bölünebilen ancak 14'e bölünemeyen ve 51'in 3'e bölünemeyen bir asal sayı (3) vardır.².

   Uyarı

   Bu, ikinci dereceden üç terimli için doğru olsa da, çarpanlarına ayrılabilen üç terimli, iki iki terimlinin çarpımı olmak zorunda değildir. örneğin, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2)(x² - 5x + 23).