Cebirsel İfadeleri Basitleştirmenin 3 Yolu

2024 Yazar: Jason Gerald | [email protected]. Son düzenleme: 2024-01-15 08:25

Cebirsel ifadelerin nasıl basitleştirileceğini öğrenmek, temel cebirde uzmanlaşmanın anahtarlarından biridir ve herhangi bir matematikçinin sahip olması gereken en kullanışlı araçtır. Basitleştirme, matematikçilerin karmaşık, uzun ve/veya tek ifadeleri daha basit veya daha kolay eşdeğer ifadelere dönüştürmesine olanak tanır. Temel sadeleştirme becerilerinin öğrenilmesi çok kolaydır – matematikten nefret edenler için bile. Birkaç basit adımı izleyerek, en sık kullanılan cebirsel ifade türlerinin çoğunu herhangi bir özel matematik bilgisi kullanmadan basitleştirmek mümkündür. Başlamak için Adım 1'e göz atın!

Adım

Önemli Kavramları Anlamak

Adım 1. Benzer terimleri değişkenlerine ve güçlerine göre gruplayın

Cebirde, benzer terimler aynı güce sahip aynı değişken konfigürasyona sahiptir. Başka bir deyişle, iki terimin eşit olması için, aynı değişkene sahip olmaları veya hiç değişkeni olmaması ve her değişkenin aynı güce sahip olması veya üsleri olmaması gerekir. Değişkenlerin terim cinsinden sırası önemli değildir.

Örneğin, 3x² ve 4x² terimler gibidir, çünkü her ikisinin de kare kuvveti olan bir x değişkeni vardır. Ancak x ve x² terimler gibi değildir, çünkü her terimin farklı bir güce sahip bir x değişkeni vardır. Hemen hemen aynı, -3yx ve 5xz benzer terimler değildir çünkü her terimin farklı bir değişkeni vardır.

Adım 2. Sayıyı iki faktörün çarpımı olarak yazarak çarpanlara ayırın

Faktoring, belirli bir sayıyı çarpılmakta olan iki faktörün ürünü olarak yazma kavramıdır. Sayıların birden fazla çarpanı olabilir – örneğin, 1 × 12, 2 × 6 ve 3 × 4'ten 12 elde edilebilir, dolayısıyla 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'nin çarpan olduğunu söyleyebiliriz. of 12 Bir sayının çarpanlarının o sayıyı tam olarak bölen sayılar olduğunu hayal etmenin başka bir yolu.

• Örneğin, 20'yi çarpanlarına ayırmak istersek, şöyle yazabiliriz: 4 × 5.
• Değişken terimlerin de çarpanlara ayrılabileceğini unutmayın. -20x, örneğin şu şekilde yazılabilir: 4(5x).
• Asal sayılar çarpanlarına ayrılamaz çünkü sadece kendilerine ve 1'e bölünebilirler.

Adım 3. İşlem sırasını hatırlamak için KaPaK BoTaK kısaltmasını kullanın

Bazen, bir ifadeyi basitleştirmek, artık uygulanabilir olmayana kadar denklemdeki işlemi basitçe çözer. Bu durumlarda, aritmetik hata oluşmaması için işlem sırasını hatırlamak çok önemlidir. KaPaK BoTaK kısaltması, işlem sırasını hatırlamanıza yardımcı olacaktır - harfler, sırayla gerçekleştirmeniz gereken işlem türlerini gösterir:

• Khata
• Pkaldırmak
• Kali
• BYeniden
• TEkle
• Kkarides

Yöntem 1/3: Benzer Terimleri Birleştir

Adım 1. Denkleminizi yazın

Tamsayı katsayıları olan ve kesir, kök vb. içermeyen sadece birkaç değişken terim içeren en basit cebirsel denklemler, çoğu zaman sadece birkaç adımda çözülebilir. Çoğu matematik problemi için denkleminizi basitleştirmenin ilk adımı onu yazmaktır!

Örnek bir problem olarak, sonraki birkaç adım için şu ifadeyi kullanıyoruz: 1 + 2x - 3 + 4x.

Adım 2. Benzer kabileleri tanımlayın

Ardından, denkleminizde benzer terimleri arayın. Benzer terimlerin aynı değişkene ve üste sahip olduğunu unutmayın.

Örneğin 1 + 2x – 3 + 4x denklemimizde benzer terimleri tanımlayalım. 2x ve 4x'in ikisi de aynı güce sahip aynı değişkene sahiptir (bu durumda x'in üssü yoktur). Ayrıca 1 ve -3 değişkenleri olmadığı için terimler gibidir. Yani denklemimizde, 2x ve 4x ve 1 ve -3 benzer kabilelerdir.

Adım 3. Benzer terimleri birleştirin

Artık benzer terimleri tanımladığınıza göre, denkleminizi basitleştirmek için bunları birleştirebilirsiniz. Aynı değişkenli ve üslü terim kümesini bir eşit terime indirgemek için terimleri ekleyin (veya negatif terimler olması durumunda çıkarın).

• Örneğimize benzer terimler ekleyelim.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Adım 4. Basitleştirilmiş terimlerden daha basit bir denklem oluşturun

Benzer terimlerinizi birleştirdikten sonra, yeni, daha küçük terim kümesinden bir denklem yapın. Orijinal denklemdeki farklı değişkenler ve güçler için bir terimi olan daha basit bir denklem elde edeceksiniz. Bu yeni denklem, orijinal denkleme eşdeğerdir.

Örneğimizde, basitleştirilmiş terimlerimiz 6x ve -2'dir, dolayısıyla yeni denklemimiz 6x - 2. Bu basit denklem, orijinal (1 + 2x - 3 + 4x) ile eşdeğerdir, ancak daha kısadır ve çalışması daha kolaydır. Bir başka önemli basitleştirme becerisi olan, aşağıda inceleyeceğimiz gibi çarpanlara ayırmak da daha kolaydır.

Adım 5. Benzer terimleri birleştirirken işlem sırasını takip edin

Yukarıdaki örnek problemde üzerinde çalıştığımız gibi çok basit denklemlerde, benzer terimleri belirlemek kolaydır. Ancak, parantez içi terimler, kesirler ve kökler içeren ifadeler gibi daha karmaşık denklemlerde, birleştirilebilen benzer terimler açıkça görülmeyebilir. Bu durumlarda, toplama ve çıkarma işlemleri kalana kadar ifadenizdeki terimler üzerinde gerektiği kadar işlem yaparak işlem sırasını takip edin.

• Örneğin, 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x denklemini kullanalım. 3x ve 2x'i hemen benzer terimler olarak kabul edip birleştirmek yanlış olur çünkü ifadedeki parantezler önce başka işlemler yapmamız gerektiğini gösterir. İlk olarak, kullanabileceğimiz terimleri elde etmek için işlem sırasına göre ifade üzerinde aritmetik işlemler yapıyoruz. Aşağıdakilere bakın:

  • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 +x² + 8 - 3x. Şimdi geriye sadece toplama ve çıkarma işlemleri kaldığı için benzer terimleri birleştirebiliriz.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

Yöntem 2/3: Faktoring

Adım 1. İfadedeki en büyük ortak faktörü tanımlayın

Çarpanlara ayırma, bir ifadedeki tüm benzer terimlerde aynı olan faktörleri kaldırarak bir ifadeyi basitleştirmenin bir yoludur. Başlamak için, tüm terimlerin sahip olduğu en büyük ortak çarpanı, diğer bir deyişle, ifadenin bütünündeki tüm terimleri bölen en büyük sayıyı bulun.

• 9x denklemini kullanalım² + 27x - 3. Bu denklemdeki her terimin 3'e bölünebildiğine dikkat edin.

  Aşama 3. en büyük ortak faktörümüzdür.

Adım 2. İfadedeki terimleri en büyük ortak çarpana bölün

Ardından, denkleminizdeki her terimi bulduğunuz en büyük ortak faktöre bölün. Bölüm terimleri, orijinal denklemden daha küçük bir katsayıya sahip olacaktır.

• Denklemimizi en büyük ortak çarpanı 3 ile çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için her terimi 3'e böleceğiz.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Böylece, yeni ifademiz 3x² + 9x - 1.

Adım 3. İfadenizi, kalan terimlerle çarpılan en büyük ortak çarpanın ürünü olarak yazın

Yeni ifadeniz orijinal ifadenize eşdeğer değil, bu nedenle ifadenin sadeleştirildiğini söylemek yanlış olur. Yeni ifademizi aslına eşit kılmak için ifademizin en büyük ortak çarpana bölündüğü gerçeğini dahil etmeliyiz. Yeni ifadenizi parantez içine alın ve orijinal denklemin en büyük ortak faktörünü parantez içinde ifade katsayısı olarak yazın.

Örnek denklemimiz için, 3x² + 9x - 1, ifadeyi parantez içine alabilir ve elde etmek için orijinal denklemin en büyük ortak faktörü ile çarpabiliriz. 3(3x² + 9x - 1). Bu denklem orijinal denkleme eşdeğerdir, 9x² +27x - 3.

Adım 4. Kesirleri basitleştirmek için çarpanlara ayırmayı kullanın

Şimdi, en büyük ortak çarpanı çıkardıktan sonra bile, yeni ifadenin bu çarpanla tekrar çarpılması gerekiyorsa, neden çarpanlara ayırmanın kullanıldığını merak ediyor olabilirsiniz. Aslında faktoring, matematikçilerin ifadeleri basitleştirmek için çeşitli hileler yapmalarına izin verir. En kolay hilelerinden biri, bir kesrin payını ve paydasını aynı sayı ile çarpmanın eşdeğer kesirler üretebileceği gerçeğinden yararlanır. Aşağıdakilere bakın:

• İlk örnek ifademizi söyleyin, 9x² + 27x - 3, payı 3 olan daha büyük kesrin niceleyicisidir. Kesir şöyle görünecektir: (9x² + 27x - 3)/3. Kesirleri basitleştirmek için faktoring kullanabiliriz.

  • Orijinal ifademizin çarpanlara ayırma şeklini paydaki ifadenin yerine koyalım: (3(3x)² + 9x - 1))/3
  • Şimdi hem pay hem de paydanın 3 katsayısına sahip olduğuna dikkat edin. Pay ve paydayı 3'e bölerek şunu elde ederiz: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Paydası 1 olan herhangi bir kesir, paydaki terimlere eşit olduğundan, ilk kesirimizin basitleştirilebileceğini söyleyebiliriz. 3x² + 9x - 1.

Yöntem 3/3: Ek Basitleştirme Becerilerini Uygulama

Adım 1. Kesirleri aynı faktörlere bölerek sadeleştirin

Yukarıda belirtildiği gibi, bir denklemin payı ve paydası aynı faktörlere sahipse, bu faktörler kesirde tamamen atlanabilir. Bazen, payda, paydada veya her ikisinde (yukarıdaki örnek problemde olduğu gibi) faktoring gerektirecektir, bazen aynı faktörler genellikle açıktır. Basit bir ifade elde etmek için payın terimlerini paydadaki denklemle tek tek bölmenin de mümkün olduğunu unutmayın.

• Faktoring gerektirmeyen bir örnek üzerinde çalışalım. Kesirler için (5x² + 10x + 20)/10, katsayı 5x'te 5 olsa bile, sadeleştirmek için paydaki her terimi 10'a bölebiliriz² 10'dan büyük değildir ve bu nedenle 10 bir faktör değildir.

  Eğer yaparsak, alacağız ((5x²)/10) + x + 2. İstesek ilk terimi (1/2)x olarak yeniden yazabiliriz.² yani (1/2)x alırız² +x+2.

Adım 2. Kökleri basitleştirmek için kare çarpanlarını kullanın

Kök işaretinin altındaki ifadeye kök ifadesi denir. Bu ifade, kare çarpanları (tam sayıların kareleri olan çarpanlar) belirleyerek ve karekök işaretinin altından çıkarmak için karekök işlemini ayrı ayrı gerçekleştirerek basitleştirilebilir.

• Basit bir örnek yapalım - (90). 90'ı iki çarpanının, 9 ve 10'un çarpımı olarak düşünürsek, 9'un karekökünü yani 3 tamsayısını alıp kök işaretinden çıkarabiliriz. Diğer bir deyişle:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Adım 3. İki üslü çarparken üsleri ekleyin; bölerken çıkarın

Bazı cebirsel ifadeler, güç terimlerini çarpmayı veya bölmeyi gerektirir. Her bir üslü elle hesaplamak veya bölmek yerine, çarpma sırasında üsleri toplamanız ve bölme yaparken çıkarmanız yeterlidir, böylece zamandan tasarruf edin. Bu kavram, değişken ifadeleri basitleştirmek için de kullanılabilir.

• Örneğin, 6x ifadesini kullanalım³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). Üslerin çarpılması veya bölünmesinin gerekli olduğu herhangi bir durumda, basit terimi hızlı bir şekilde bulmak için sırasıyla üsleri çıkaracağız veya ekleyeceğiz. Aşağıdakilere bakın:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8)x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Nasıl çalıştığına dair bir açıklama için aşağıya bakın:

  • Terimleri üslerle çarpmak, aslında uzun üslerle değil de terimleri çarpmaya benzer. Örneğin, çünkü x³ = x × x × x ve x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), veya x⁸.
  • Hemen hemen aynı, üsleri bölmek, uzun üsleri değil, terimleri bölmek gibidir. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Paydaki her terim, paydada aynı terim bulunarak üstü çizilebileceğinden, payda sadece iki x kalır ve altta hiçbir şey kalmaz, x cevabını verir.².

İpuçları

• Bu sayıların pozitif ve negatif işaretlere sahip olduğunu hayal etmeniz gerektiğini daima unutmayın. Birçok insan buraya hangi işareti koymalıyım diye düşünmeyi bırakıyor.
• İhtiyacın olursa yardım iste!
• Cebirsel İfadeleri Basitleştirmek kolay değildir, ancak bir kez anladığınızda, hayatınızın geri kalanında kullanacaksınız.

Uyarı

• Her zaman benzer kabileleri arayın ve rütbeye kanmayın.
• Yanlışlıkla olmaması gereken sayılar, yetkiler veya işlemler eklemediğinizden emin olun.