Kök formu, karekök (veya küp kök veya daha yüksek) işaretine sahip cebirsel bir ifadedir. Bu form genellikle ilk bakışta farklı görünseler de aynı değere sahip iki sayıyı temsil edebilir (örneğin, 1/(sqrt(2) - 1) = sqrt(2)+1). Bu nedenle, bu tür bir form için bir "standart formüle" ihtiyacımız var. Her ikisi de standart formülde farklı görünen iki ifade varsa, bunlar aynı değildir. Matematikçiler, ikinci dereceden formun standart formülasyonunun aşağıdaki gereksinimleri karşıladığı konusunda hemfikirdir:
- Kesirleri kullanmaktan kaçının
- kesirli güçler kullanmayın
- Paydada kök formunu kullanmaktan kaçının
- İki kök formunun çarpımını içermez
- Kökün altındaki sayılar artık köklenemez
Bunun pratik bir kullanımı çoktan seçmeli sınavlardadır. Bir cevap bulduğunuzda, ancak cevabınız mevcut seçeneklerle aynı değilse, onu standart bir formüle basitleştirmeye çalışın. Soru oluşturucular genellikle standart formüllerde cevaplar yazdığından, cevaplarınızla aynı şeyi yapın. Deneme sorularında, "cevabınızı basitleştirin" veya "tüm kökleri basitleştirin" gibi komutlar, öğrencilerin yukarıdaki standart formülü karşılayana kadar aşağıdaki adımları gerçekleştirmesi gerektiği anlamına gelir. Bu adım, bazı denklem türlerinin standart olmayan formüllerde çözülmesi daha kolay olsa da, denklemleri çözmek için de kullanılabilir.
Adım
Adım 1. Gerekirse, bu süreçte ihtiyacımız olduğu için kökleri ve üsleri (her ikisi de eşittir - kökler kesirlerin kuvvetleridir) çalıştırma kurallarını gözden geçirin
Ayrıca polinomları ve rasyonel formları basitleştirme kurallarını da gözden geçirin, çünkü bunları basitleştirmemiz gerekecek.
Yöntem 1/6: Mükemmel Kareler
Adım 1. Tam kareler içeren tüm kökleri basitleştirin
Tam kare bir sayının kendi başına ürünüdür, örneğin 9 x 9'un çarpımı olan 81. Tam kareyi sadeleştirmek için karekökü çıkarın ve sayının karekökünü yazın.
- Örneğin, 121 bir tam karedir çünkü 11 x 11 121'e eşittir. Böylece, kök işaretini kaldırarak kökü (121) 11'e sadeleştirebilirsiniz.
- Bu adımı kolaylaştırmak için ilk on iki tam kareyi hatırlamanız gerekir: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Adım 2. Mükemmel küpler içeren tüm kökleri basitleştirin
Mükemmel bir küp, bir sayının iki kez çarpılmasının ürünüdür, örneğin 27, 3 x 3 x 3'ün çarpımıdır. sayının.
Örneğin, 343 mükemmel bir küptür çünkü 7 x 7 x 7'nin çarpımıdır. Dolayısıyla 343'ün küp kökü 7'dir
Yöntem 2/6: Kesirleri Köklere Dönüştürme
Veya tam tersini yapmak (bazen yardımcı olur), ancak bunları root(5) + 5^(3/2) ile aynı ifadede karıştırmayın. Kök formunu kullanmak istediğinizi varsayacağız ve karekök için root(n) ve küp kökü için sqrt^3(n) sembollerini kullanacağız.
Adım 1. Birini kesrin kuvvetine alın ve kök formuna dönüştürün, örneğin x^(a/b) = root, x^a'nın b kuvveti
Karekök kesir biçimindeyse, onu normal biçime dönüştürün. Örneğin, 4'ün karekökü (2/3) = kök(4)^3 = 2^3 = 8
Adım 2. Negatif üsleri kesirlere dönüştürün, örneğin x^-y = 1/x^y
Bu formül sadece sabit ve rasyonel üsler için geçerlidir. 2^x gibi bir formla uğraşıyorsanız, sorun x'in bir kesir veya negatif bir sayı olabileceğini gösterse bile onu değiştirmeyin
Aşama 3. Aynı kabileyi birleştir ve elde edilen rasyonel formu basitleştirin.
Yöntem 3/6: Köklerdeki Kesirleri Ortadan Kaldırma
Standart formül, kökün bir tamsayı olmasını gerektirir.
Adım 1. Hala bir kesir içeriyorsa, karekökün altındaki sayıya bakın
Hala ise,…
Adım 2. root(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b) kimliğini kullanarak iki kökten oluşan bir kesre geçin
Payda negatifse veya negatif olabilecek bir değişkense bu kimliği kullanmayın. Bu durumda, önce kesri sadeleştirin
Adım 3. Sonucun her bir tam karesini basitleştirin
Yani, sqrt(5/4)'ü sqrt(5)/sqrt(4)'e dönüştürün, ardından sqrt(5)/2'ye sadeleştirin.
Adım 4. Karmaşık kesirleri sadeleştirme, eşit terimleri birleştirme vb. gibi diğer sadeleştirme yöntemlerini kullanın
Yöntem 4/6: Çarpma Köklerini Birleştirme
Adım 1. Bir kök formu diğeriyle çarpıyorsanız, aşağıdaki formülü kullanarak ikisini bir karekökte birleştirin:
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab). Örneğin, root(2)*root(6)'u root(12) olarak değiştirin.
- Yukarıdaki özdeşlik, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(ab), sqrt işaretinin altındaki sayı negatif değilse geçerlidir. a ve b negatif olduğunda bu formülü kullanmayın çünkü sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt(1) yapma hatasına düşersiniz. Soldaki ifade -1'e eşittir (veya karmaşık sayılar kullanmıyorsanız tanımsızdır), sağdaki ifade +1'dir. a ve/veya b negatifse, önce sqrt(-5) = i*sqrt(5) gibi işareti "değiştirin". Kök işaretinin altındaki form, işareti bağlamdan bilinmeyen veya pozitif veya negatif olabilen bir değişken ise, şimdilik olduğu gibi bırakın. Tüm a ve b gerçek sayıları için geçerli olan daha genel kimliği, sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(sgn(a))*sqrt(sgn(b))*sqrt(|ab|) kullanabilirsiniz, ancak genellikle bu formül pek yardımcı olmaz çünkü sgn (signum) işlevini kullanmaya karmaşıklık katar.
- Bu özdeşlik ancak köklerin biçimleri aynı üslüyse geçerlidir. sqrt(5)*sqrt^3(7) gibi farklı karekökleri aynı kareköke dönüştürerek çarpabilirsiniz. Bunu yapmak için, karekökü geçici olarak bir kesre dönüştürün: sqrt(5)*sqrt^3(7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Ardından, ikisini 6125'in kareköküyle çarpmak için çarpma kuralını kullanın.
Yöntem 5/6: Kare Faktörü Kökten Çıkarma
Adım 1. Kusurlu kökleri asal faktörlere ayırın
Çarpan, başka bir sayı ile çarpıldığında bir sayı oluşturan bir sayıdır - örneğin, 5 ve 4, 20'nin iki çarpanıdır. Kusurlu kökleri ayırmak için, sayının tüm çarpanlarını (veya mümkünse mümkün olduğunca çok) yazın. sayı çok büyük) mükemmel bir kare bulana kadar.
Örneğin, 45: 1, 3, 5, 9, 15 ve 45'in tüm çarpanlarını bulmaya çalışın. 9, 45'in bir çarpanıdır ve aynı zamanda bir tam karedir (9=3^2). 9 x 5 = 45
Adım 2. Tam kare olan tüm çarpanları karekök içinden çıkarın
9 tam bir kare çünkü 3 x 3'ün ürünü. 3'ü karekökü tekrar "koyarsanız", 9 yapmak için kendisiyle çarparsanız ve 5 ile çarparsanız 45 döndürür. 5'in 3 kökü, 45'in kökünü ifade etmenin basit bir yoludur.
Yani, sqrt(45) = sqrt(9*5) = sqrt(9)*sqrt(5) = 3*sqrt(5)
Adım 3. Değişkendeki tam kareyi bulun
Bir karenin karekökü |a|. Bilinen değişken pozitifse bunu sadece "a" olarak basitleştirebilirsiniz. a'nın karekökü üzeri 3'ün kareköküne bölündüğünde a kare çarpı a -- iki sayıyı a'nın kuvvetiyle çarptığımızda üslerin toplandığını unutmayın, yani a kare çarpı a eşittir a üçüncü güç.
Bu nedenle, bir küp şeklinde bir tam kare, bir karedir
Adım 4. Mükemmel kareyi içeren değişkeni karekökten çıkarın
Şimdi, karekökten bir kare alın ve bunu |a| olarak değiştirin.. 3'ün kuvvetine göre a kökünün basit biçimi |a| kök a.
Adım 5. Eşit terimleri birleştirin ve hesaplama sonuçlarının tüm köklerini basitleştirin
Yöntem 6/6: Paydayı Rasyonelleştirin
Adım 1. Standart formül, paydanın mümkün olduğunca bir tamsayı (veya bir değişken içeriyorsa bir polinom) olmasını gerektirir
-
Payda kök işaretinin altındaki bir terimden oluşuyorsa, örneğin […]/root(5) gibi, o zaman hem payı hem de paydayı bu kökle çarparak […]*sqrt(5)/sqrt(5)*sqrt elde edin. (5) = […]*kök(5)/5.
Küp veya daha yüksek kökler için, paydanın rasyonel olması için uygun kökle çarpın. Payda kök^3(5) ise, pay ve paydayı sqrt^3(5)^2 ile çarpın
-
Payda sqrt(2) + sqrt(6) gibi iki karekök toplama veya çıkarmadan oluşuyorsa, niceleyiciyi ve paydayı aynı formda ancak zıt işaretli olan eşlenikleriyle çarpın. Sonra […]/(root(2) + root(6)) = […](root(2)-root(6))/(root(2) + root(6))(root(2)-root (6)). Sonra paydayı rasyonelleştirmek, (sqrt(2) + sqrt(6))(sqrt()'yi sadeleştirmek için iki karenin farkı için özdeşlik formülünü kullanın [(a+b)(ab) = a^2-b^2] 2)-sqrt(6)) = kare(2)^2 - kare(6)^2 = 2-6 = -4.
- Bu aynı zamanda 5 + sqrt(3) gibi paydalar için de geçerlidir çünkü tüm tam sayılar diğer tam sayıların kökleridir. [1/(5 + kare(3)) = (5 kare(3))/(5 + kare(3))(5 kare(3)) = (5 kare(3))/(5^ 2 kare(3)^2) = (5 kare(3))/(25-3) = (5 kare(3))/22]
- Bu yöntem aynı zamanda sqrt(5)-sqrt(6)+sqrt(7) gibi köklerin eklenmesi için de geçerlidir. Bunları (sqrt(5)-sqrt(6))+sqrt(7) şeklinde gruplayıp (sqrt(5)-sqrt(6))-sqrt(7) ile çarparsanız, cevap rasyonel biçimde değildir, ancak hala a+b*root(30)'da, burada a ve b zaten rasyonel sayılardır. Daha sonra a+b*sqrt(30) ve (a+b*sqrt(30))(a-b*sqrt(30)) konjugatları ile işlemi tekrarlayın rasyonel olacaktır. Özünde, bu numarayı paydadaki bir kök işaretini kaldırmak için kullanabilirseniz, tüm kökleri kaldırmak için birçok kez tekrarlayabilirsiniz.
- Bu yöntem, 3'ün dördüncü kökü veya 9'un yedinci kökü gibi daha yüksek bir kök içeren paydalar için de kullanılabilir. Pay ve paydayı, paydanın eşleniği ile çarpın. Ne yazık ki paydanın eşleniğine doğrudan ulaşamıyoruz ve bunu yapmak zor. Cevabı sayılar teorisi üzerine bir cebir kitabında bulabiliriz, ama buna girmeyeceğim.
Adım 2. Şimdi payda rasyonel biçimde, ancak pay karışık görünüyor
Şimdi tek yapmanız gereken paydanın eşleniği ile çarpmak. Devam edin ve polinomları çarptığımız gibi çarpın. Mümkünse, herhangi bir terimin çıkarılıp çıkarılamayacağını, basitleştirilebileceğini veya birleştirilip birleştirilemeyeceğini kontrol edin.
Adım 3. Payda negatif bir tam sayıysa, hem payı hem de paydayı pozitif yapmak için -1 ile çarpın
İpuçları
- Kök formları basitleştirmeye yardımcı olabilecek siteleri çevrimiçi olarak arayabilirsiniz. Sadece kök işaretli denklemi yazın ve Enter tuşuna bastıktan sonra cevap görünecektir.
- Daha basit sorular için bu makaledeki tüm adımları kullanmayabilirsiniz. Daha karmaşık sorular için birkaç adımı birden çok kez kullanmanız gerekebilir. "Basit" adımları birkaç kez kullanın ve yanıtınızın daha önce tartıştığımız standart formülasyon kriterlerine uyup uymadığını kontrol edin. Cevabınız standart formülde ise işlem tamamdır; ancak değilse, yapmanıza yardımcı olması için yukarıdaki adımlardan birini kontrol edebilirsiniz.
- Kök formu için "önerilen standart formül"e yapılan çoğu referans, karmaşık sayılar için de geçerlidir (i = kök(-1)). Bir ifade kök yerine "i" içeriyor olsa bile, yine de i içeren paydalardan mümkün olduğunca kaçının.
- Bu makaledeki bazı yönergeler, tüm köklerin kareler olduğunu varsayar. Aynı genel ilkeler daha yüksek güçlerin kökleri için de geçerlidir, ancak bazı kısımlarla (özellikle paydayı rasyonelleştirmek) çalışmak oldukça zor olabilir. Kare^3(4) veya kare^3(2)^2 gibi hangi şekli istediğinize kendiniz karar verin. (Ders kitaplarında genellikle hangi formun önerildiğini hatırlamıyorum).
- Bu makaledeki yönergelerden bazıları, "normal formu" tanımlamak için "standart formül" kelimesini kullanır. Fark, standart formülün yalnızca 1+sqrt(2) veya sqrt(2)+1 biçimini kabul etmesi ve diğer biçimleri standart dışı olarak kabul etmesidir; Düz form, okuyucunun, bu iki sayının yazılı olarak aynı olmamasına rağmen ('aynı', cebirsel özelliklerinde (değişmeli toplama) aritmetik özelliklerinde (değişmeli toplama) anlamına gelir) bu iki sayının "benzerliğini" görecek kadar akıllı olduğunu varsayar. (2), x^2-2)'nin negatif olmayan köküdür). Okuyucuların bu terminolojinin kullanımındaki hafif dikkatsizliği anlayacağını umuyoruz.
- İpuçlarından herhangi biri belirsiz veya çelişkili görünüyorsa, açık ve tutarlı olan tüm adımları uygulayın ve ardından hangi şekli tercih ederseniz onu seçin.
