Türev hesabında bükülme noktası, eğrinin işaret değiştirdiği (pozitiften negatife veya negatiften pozitife) bir eğri üzerindeki noktadır. Verilerdeki temel değişiklikleri belirlemek için mühendislik, ekonomi ve istatistik gibi çeşitli konularda kullanılır. Bir eğrinin bükülme noktasını bulmanız gerekiyorsa, Adım 1'e gidin.
Adım
Yöntem 1/3: Bükülme Noktalarını Anlama
Adım 1. İçbükey işlevi anlayın
Bükülme noktasını anlamak için içbükey ve dışbükey fonksiyonları ayırt etmeniz gerekir. İçbükey fonksiyon, grafikteki iki noktayı birleştiren doğrunun asla grafiğin üzerinde olmadığı bir fonksiyondur.
Adım 2. Dışbükey işlevi anlayın
Bir dışbükey işlev, temel olarak bir dışbükey işlevin tersidir: yani, grafikteki iki noktayı birleştiren çizginin hiçbir zaman grafiğin altında olmadığı bir işlev.
Adım 3. Bir fonksiyonun temellerini anlayın
Bir fonksiyonun temeli, fonksiyonun sıfıra eşit olduğu noktadır.
Bir fonksiyonun grafiğini çizecekseniz, tabanlar fonksiyonun x eksenini kestiği noktalardır
Yöntem 2/3: Bir Fonksiyonun Türevini Bulma
Adım 1. Fonksiyonunuzun ilk türevini bulun
Bükülme noktasını bulmadan önce fonksiyonunuzun türevini bulmalısınız. Temel fonksiyonun türevi herhangi bir hesap kitabında bulunabilir; Daha karmaşık işlere geçmeden önce bunları öğrenmeniz gerekir. Birinci türev f '(x) olarak yazılır. axp + bx(p−1) + cx + d formunun bir polinom ifadesi için, birinci türev apx(p−1) + b(p 1)x(p−2) + c'dir.
-
Örneklemek için, f(x) = x3 +2x−1 fonksiyonunun bükülme noktasını bulmanız gerektiğini varsayalım. Fonksiyonun birinci türevini şu şekilde hesaplayın:
f (x) = (x3 + 2x 1)′ = (x3)′ + (2x)′ (1)′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Adım 2. Fonksiyonunuzun ikinci türevini bulun
İkinci türev, f(x) şeklinde yazılan fonksiyonun birinci türevinin birinci türevidir.
-
Yukarıdaki örnekte, fonksiyonun ikinci türevinin hesaplanması şu şekilde olacaktır:
f (x) = (3x2 + 2)′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Adım 3. İkinci türevi sıfıra eşitleyin
İkinci türevinizi sıfıra eşitleyin ve denklemi çözün. Cevabınız olası bir bükülme noktasıdır.
-
Yukarıdaki örnekte, hesaplamanız şöyle görünecektir:
f(x) = 0
6x = 0
x=0
Adım 4. Fonksiyonunuzun üçüncü türevini bulun
Cevabınızın gerçekten bir bükülme noktası olup olmadığını görmek için, fonksiyonun ikinci türevinin birinci türevi olan ve f(x) olarak yazılan üçüncü türevi bulun.
-
Yukarıdaki örnekte, hesaplamanız şöyle görünecektir:
f (x) = (6x)′ = 6
Yöntem 3/3: Bükülme Noktalarını Bulma
Adım 1. Üçüncü türevinizi kontrol edin
Olası bükülme noktalarını kontrol etmek için standart kural şu şekildedir: "Üçüncü türev sıfır değilse, f (x) =/ 0, olası bükülme noktası aslında bükülme noktasıdır." Üçüncü türevinizi kontrol edin. Sıfıra eşit değilse, bu değer gerçek bükülme noktasıdır.
Yukarıdaki örnekte, üçüncü türeviniz 0 değil 6'dır. Dolayısıyla 6, gerçek bükülme noktasıdır
Adım 2. Bükülme noktasını bulun
Bükülme noktasının koordinatları (x, f(x)) şeklinde yazılır; burada x, bükülme noktasındaki değişken noktanın değeri ve f(x) bükülme noktasındaki fonksiyon değeridir.
-
Yukarıdaki örnekte, ikinci türevi hesapladığınızda x = 0 olduğunu unutmayın. Bu nedenle, koordinatlarınızı belirlemek için f(0)'ı bulmalısınız. Hesaplamanız şöyle görünecek:
f(0) = 03 +2×0−1 = 1.
Adım 3. Koordinatlarınızı kaydedin
Bükülme noktanızın koordinatları x değeriniz ve yukarıda hesapladığınız değerdir.
