Aynı değere sahiplerse iki kesir eşdeğerdir. Kesirleri eşdeğer formlara dönüştürmeyi bilmek, temel cebirden ileri kalkulusa kadar tüm matematik formları için gerekli olan son derece önemli bir matematik becerisidir. Bu makale, temel çarpma ve bölmeden eşdeğer kesirli denklemleri çözmenin daha karmaşık yollarına kadar eşdeğer kesirleri hesaplamanın birkaç yolunu sağlayacaktır.
Adım
Yöntem 1/5: Eşdeğer Kesirleri Düzenleme
Adım 1. Pay ve paydayı aynı sayı ile çarpın
İki farklı fakat eşdeğer kesir, tanım gereği, birbirinin katı olan bir pay ve paydaya sahiptir. Başka bir deyişle, bir kesrin payını ve paydasını aynı sayı ile çarpmak, eşdeğer kesirler üretecektir. Yeni kesirdeki sayılar farklı olsa da kesirlerin değeri aynı olacaktır.
- Örneğin, 4/8 kesirini alıp pay ve paydayı 2 ile çarparsak (4×2)/(8×2) = 8/16 elde ederiz. Bu iki kesir eşdeğerdir.
- (4×2)/(8×2) aslında 4/8×2/2 ile aynıdır. İki kesri çarparken, payın payla ve paydanın payda olduğu anlamına gelen düz çarptığımızı unutmayın.
- Bölmeyi yaparsanız 2/2'nin 1'e eşit olduğunu unutmayın. 4/8 × (2/2) = 4/8 olarak kaldığı için 4/8 ve 8/16 neden denk olduğunu anlamak daha kolaydır. Aynı şekilde, 4/8 = 8/16 demekle aynı şeydir.
- Herhangi bir kesrin sonsuz sayıda eşdeğer kesri vardır. Eşdeğer bir kesir elde etmek için hem payı hem de paydayı, boyutuna veya küçüklüğüne bakılmaksızın herhangi bir tam sayı ile çarpabilirsiniz.
Adım 2. Pay ve paydayı aynı sayıya bölün
Çarpma gibi, bölme de orijinal kesirinize eşdeğer yeni bir kesir bulmak için kullanılabilir. Eşdeğer kesri elde etmek için bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıya bölmeniz yeterlidir. Bu işlemin bir dezavantajı vardır - son kesrin doğru olması için hem payda hem de paydada tamsayılara sahip olması gerekir.
Örneğin, 4/8'e tekrar bakalım. Çarpmak yerine hem payı hem de paydayı 2'ye bölersek (4 2)/(8 2) = 2/4 elde ederiz. 2 ve 4 tam sayılardır, dolayısıyla bu denk kesirler doğrudur
Yöntem 2/5: Eşitliği Belirlemek için Temel Çarpmayı Kullanma
Adım 1. Daha büyük paydayı elde etmek için küçük payda ile çarpılması gereken sayıyı bulun
Kesirlerle ilgili birçok problem, iki kesrin eşdeğer olup olmadığını belirlemeyi içerir. Bu sayıyı hesaplayarak, eşitliği belirlemek için kesirli terimleri eşitlemeye başlayabilirsiniz.
- Örneğin, 4/8 ve 8/16 kesirlerini yeniden kullanın. Küçük payda 8'dir ve daha büyük payda olan 16'yı elde etmek için sayıyı 2 ile çarpmamız gerekir. Yani bu durumda sayı 2'dir.
- Daha zor sayılar için, büyük paydayı daha küçük paydaya bölebilirsiniz. Bu durumda 16, 8'e bölünür ve bu da 2'yi verir.
- Sayı her zaman bir tam sayı değildir. Örneğin, paydalar 2 ve 7 ise, sayı 3, 5'tir.
Adım 2. Terimi daha küçük olan kesrin payını ve paydasını ilk adımdaki sayı ile çarpın
İki farklı fakat eşdeğer kesir, tanım gereği, birbirinin katı olan pay ve payda. Başka bir deyişle, bir kesrin payını ve paydasını aynı sayı ile çarpmak eşdeğer bir kesir üretecektir. Bu yeni kesirdeki sayılar farklı olsa da bu kesirler aynı değere sahip olacaktır.
Örneğin, birinci adımdaki 4/8 kesrini kullanırsak ve pay ve paydayı daha önce tanımladığımız sayı olan 2 ile çarparsak (4×2)/(8×2) = elde ederiz. 8/16. Bu sonuç, bu iki kesrin eşdeğer olduğunu kanıtlar.
Yöntem 3/5: Eşitliği Belirlemek için Temel Bölmenin Kullanılması
Adım 1. Her kesri bir ondalık sayı olarak sayın
Değişkensiz basit kesirler için, eşitliği belirlemek için her kesri ondalık sayı olarak gösterebilirsiniz. Her kesir aslında bir bölme problemi olduğundan, eşitliği belirlemenin en basit yolu budur.
- Örneğin, daha önce kullandığımız kesri, 4/8'i kullanın. 4/8 kesri, 4 bölü 8'e eşittir, yani 4/8 = 0,5'tir. Diğer örneği de çözebilirsiniz, 8/16 = 0,5'tir. Bir kesirdeki terimler ne olursa olsun, kesir eşdeğerdir. ondalık olarak temsil edildiğinde her iki sayı da aynıysa.
- Eşitlik açık olmadan önce ondalık ifadelerin birden fazla basamağı olabileceğini unutmayın. Basit bir örnek olarak, 1/3 = 0.333 tekrar ederken 3/10 = 0.3 tekrar eder. Birden fazla rakam kullanarak bu iki kesrin eşdeğer olmadığını görüyoruz.
Adım 2. Eşdeğer bir kesir elde etmek için bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıya bölün
Daha karmaşık kesirler için bölme yöntemi ek adımlar gerektirir. Çarpma işleminde ise bir kesrin payını ve paydasını aynı sayıya bölerek denk bir kesir elde edebilirsiniz. Bu işlemin bir dezavantajı var. Son kesrin doğru olması için hem payda hem de paydada tamsayılara sahip olması gerekir.
Örneğin, 4/8'e tekrar bakalım. Çarpmak yerine pay ve paydayı 2'ye bölersek (4 2)/(8 2) = elde ederiz. 2/4. 2 ve 4 tam sayılardır, dolayısıyla bu denk kesirler doğrudur.
Adım 3. Kesirleri en basit terimleriyle sadeleştirin
Çoğu kesir genellikle en basit terimleriyle yazılır ve kesirleri en büyük ortak faktöre (GCF) bölerek en basit biçimlerine dönüştürebilirsiniz. Bu adım, eşdeğer kesirleri aynı paydaya dönüştürerek yazmakla aynı mantıkta yapılır, ancak bu yöntem her kesri mümkün olan en küçük terimlere basitleştirmeye çalışır.
- Bir kesir en basit biçiminde olduğunda, pay ve payda mümkün olan en küçük değerlere sahiptir. Her ikisi de daha küçük değeri elde etmek için herhangi bir tam sayıya bölünemez. En basit biçiminde olmayan bir kesri en basit eşdeğer biçimine dönüştürmek için payı ve paydayı en büyük ortak çarpanlarına böleriz.
-
Pay ve paydanın en büyük ortak çarpanı (GCF), bir tamsayı sonucu verecek şekilde onları bölen en büyük sayıdır. 4/8 örneğimizde, çünkü
Adım 4. 4 ve 8 ile bölünebilen en büyük sayıdır, en basit terimleri elde etmek için kesirimizin payını ve paydasını 4'e böleceğiz. (4 4)/(8 4) = 1/2. Diğer örneğimiz 8/16 için, GCF 8'dir ve bu aynı zamanda bir kesrin en basit ifadesi olarak 1/2 değerini de verir.
Yöntem 4/5: Değişkenleri Bulmak için Çapraz Ürünleri Kullanma
Adım 1. İki kesri birbirine eşit olacak şekilde düzenleyin
Kesirlerin eşdeğer olduğunu bildiğimiz matematik problemleri için çapraz çarpma kullanırız, ancak sayılardan birinin yerini çözmemiz gereken bir değişken (genellikle x) alır. Bunun gibi durumlarda, eşittir işaretinin diğer tarafındaki tek terim oldukları için bu kesirlerin eşdeğer olduğunu biliyoruz, ancak çoğu zaman değişkeni bulmanın yolu açık değildir. Neyse ki, çapraz çarpma ile bu tür problemleri çözmek kolaydır.
Adım 2. İki eşdeğer kesir alın ve bunları bir "X" şekliyle çarpın
Başka bir deyişle, bir kesrin payını diğer kesrin paydasıyla çarparsınız ve bunun tersini yaparsınız, sonra iki cevabı birbiriyle eşleşecek şekilde düzenler ve çözersiniz.
İki örneğimizi alın, 4/8 ve 8/16. İkisinin de bir değişkeni yoktur, ancak kavramı kanıtlayabiliriz çünkü bunların eşdeğer olduklarını zaten biliyoruz. Çapraz çarpma ile 4/16 = 8 x 8 veya 64 = 64 elde ederiz, bu doğrudur. Bu iki sayı eşit değilse, o zaman kesirler eşdeğer değildir
Adım 3. Değişkenleri ekleyin
Değişkenleri bulmanız gerektiğinde eşdeğer kesirleri belirlemenin en kolay yolu çapraz çarpma olduğundan, değişkenleri ekleyelim.
-
Örneğin, 2/x = 10/13 denklemini kullanalım. Çapraz çarpma için 2 ile 13 ve 10 ile x'i çarparız, sonra cevaplarımızı birbirine eşit tutarız:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Buradan değişkenimizin cevabını bulmak basit bir cebir problemidir. x = 26/10 = 2, 6, ilk eşdeğer kesri 2/2, 6 = 10/13 yaparak.
Adım 4. Çok değişkenli kesirler veya değişken ifadeler için çapraz çarpma kullanın
Çapraz çarpma ile ilgili en iyi şeylerden biri, iki basit kesirle (yukarıdaki gibi) veya daha karmaşık kesirlerle çalışıyor olsanız da aslında aynı şekilde çalışmasıdır. Örneğin, her iki kesrin de değişkenleri varsa, çözme işleminde yalnızca bu değişkenleri ortadan kaldırmanız gerekir. Benzer şekilde, kesirinizin payı veya paydası değişken bir ifadeye sahipse (x + 1 gibi), dağılma özelliğini kullanarak onu "çarpın" ve her zamanki gibi çözün.
-
Örneğin ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) denklemini kullanalım. Bu durumda, yukarıdaki gibi çapraz çarpım ile çözeceğiz:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, o zaman her iki taraftan 2x çıkararak kesri sadeleştirebiliriz
- 2 = 2x + 12, sonra her iki taraftan 12 çıkararak değişkeni izole ederiz.
- -10 = 2x ve x'i bulmak için 2'ye bölün
- - 5 = x
Yöntem 5/5: Değişkenleri Bulmak için İkinci Dereceden Formülleri Kullanma
Adım 1. İki kesri çaprazlayın
İkinci dereceden bir formül gerektiren eşitlik problemleri için hala çapraz çarpım kullanarak başlıyoruz. Bununla birlikte, bir değişkenin terimlerini başka bir değişkenin terimleriyle çarpmayı içeren herhangi bir çapraz çarpım, muhtemelen cebir kullanılarak kolayca çözülemeyen bir ifadeyle sonuçlanacaktır. Bu gibi durumlarda çarpanlara ayırma ve/veya ikinci dereceden formüller gibi teknikleri kullanmanız gerekebilir.
-
Örneğin, ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) denklemine bakalım. Önce çarpma işlemini yapalım:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2 kere2 - 2 = 12.
Adım 2. Denklemi ikinci dereceden bir denklem olarak yazın
Bu bölümde, bu denklemi ikinci dereceden formda yazmak istiyoruz (ax2 + bx + c = 0) bunu denklemi sıfıra eşitleyerek yaparız. Bu durumda, 2x elde etmek için her iki taraftan 12 çıkarırız.2 - 14 = 0.
Bazı değerler 0'a eşit olabilir. 2x bile olsa2 - 14 = 0 denklemimizin en basit halidir, gerçek ikinci dereceden denklem 2x2 + 0x + (-14) = 0. İkinci dereceden denklemin şeklini bazı değerler 0'a eşit olsa bile yazmak başlangıçta yardımcı olabilir.
Adım 3. İkinci dereceden denkleminizdeki sayıları ikinci dereceden formüle takarak çözün
İkinci dereceden formül (x = (-b +/- (b)2 - 4ac))/2a) bu bölümde x değerimizi bulmamıza yardımcı olacaktır. Formülün uzunluğundan korkmayın. İkinci adımdaki ikinci dereceden denkleminizden değerleri alıp çözmeden önce doğru yerlere koymanız yeterli.
- x = (-b +/- (b)2 - 4ac))/2a. Bizim denklemimizde, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 ve c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2(2)
- x = (+/- (112))/2(2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2, 64
Adım 4. İkinci dereceden denkleminize x değerini yeniden girerek cevabınızı kontrol edin
Hesaplanan x değerini ikinci adımdaki ikinci dereceden denkleminize geri ekleyerek, cevabı doğru alıp almadığınızı kolayca belirleyebilirsiniz. Bu örnekte, 2, 64 ve -2, 64'ü orijinal ikinci dereceden denkleme yerleştireceksiniz.
İpuçları
- Bir kesri eşdeğerine çevirmek aslında bir kesri 1 ile çarpmanın bir şeklidir. 1/2'yi 2/4'e çevirirken, pay ve paydayı 2 ile çarpmak, 1/2 ile 2/2 ile çarpmakla aynıdır, yani 1'e eşittir..
-
İstenirse, dönüştürmeyi kolaylaştırmak için karışık sayıyı ortak bir kesire dönüştürün. Elbette karşılaştığınız kesirlerin tümü yukarıdaki 4/8 örneğimizi dönüştürmek kadar kolay olmayacaktır. Örneğin, karışık sayılar (1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 vb. gibi) dönüştürme işlemini biraz daha karmaşık hale getirebilir. Karışık bir sayıyı ortak bir kesre dönüştürmeniz gerekiyorsa, bunu iki şekilde yapabilirsiniz: karışık sayıyı ortak bir kesre dönüştürerek, sonra onu her zamanki gibi dönüştürerek, veya karışık sayılar formunu koruyarak ve karışık sayılar şeklinde cevaplar alarak.
- Ortak bir kesre dönüştürmek için, karışık sayının tamsayı bileşenini kesir bileşeninin paydasıyla çarpın ve ardından paya ekleyin. Örneğin, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Ardından, isterseniz, gerektiği gibi değiştirebilirsiniz. Örneğin, 5/3 × 2/2 = 10/6, bu da 1 2/3'e eşit kalır.
- Ancak, yukarıdaki gibi ortak bir kesire dönüştürmek zorunda değiliz. Aksi takdirde, tamsayı bileşenini olduğu gibi bırakır, yalnızca kesirli bileşeni değiştirir ve tamsayı bileşenini değiştirmeden ekleriz. Örneğin, 3 4/16 için sadece 4/16 görüyoruz. 4/16 4/4 = 1/4. Böylece, tamsayı bileşenlerimizi geri ekleyerek yeni bir karışık sayı elde ederiz, 3 1/4.
Uyarı
- Çarpma ve bölme, eşdeğer kesirler elde etmek için kullanılabilir, çünkü 1 sayısının kesirli formu (2/2, 3/3, vb.) ile çarpma ve bölme, tanım olarak orijinal kesre eşdeğer bir cevap verir. Toplama ve çıkarma kullanılamaz.
-
Kesirleri çarparken pay ve paydaları çarpmanıza rağmen, kesirleri toplarken veya çıkarırken paydaları toplamaz veya çıkarmazsınız.
Örneğin, yukarıda 4/8 4/4 = 1/2 olduğunu biliyoruz. 4/4 eklersek, tamamen farklı bir cevap alırız. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 veya 3/2, 4/8'e eşit değiller.
