Türevler, maksimum, minimum, tepe, çukur ve eğim değerleri gibi bir grafikten faydalı özellikler elde etmek için kullanılabilir. Bir grafik hesap makinesi olmadan karmaşık denklemlerin grafiğini oluşturmak için bile kullanabilirsiniz! Ne yazık ki, türevler üzerinde çalışmak genellikle sıkıcıdır, ancak bu makale size bazı ipuçları ve püf noktaları konusunda yardımcı olacaktır.
Adım
Adım 1. Türetilmiş gösterimi anlayın
Aşağıdaki iki gösterim en yaygın olarak kullanılanlardır, ancak diğerleri burada Wikipedia'da bulunabilir.
- Leibniz Notasyonu Bu notasyon, denklem y ve x'i içerdiğinde en sık kullanılan notasyondur. dy/dx, kelimenin tam anlamıyla y'nin x'e göre türevi anlamına gelir. Çok farklı x ve y değerleri için y/Δx olarak düşünmek faydalı olabilir. Bu açıklama, türev limitinin tanımına yol açar: limh->0 (f(x+h)-f(x))/h. İkinci türev için bu gösterimi kullanırken şunu yazmalısınız: d2y/dx2.
- Lagrange Gösterimi f fonksiyonunun türevi f'(x) olarak da yazılır. Bu gösterim f aksanlı x olarak okunur. Bu gösterim Leibniz'in gösteriminden daha kısadır ve türevleri fonksiyon olarak incelerken yararlıdır. Daha büyük bir türev derecesi oluşturmak için, sadece ' 'yi f'ye ekleyin, böylece ikinci türev f''(x) olacaktır.
Adım 2. Türevin anlamını ve düşüşün nedenlerini anlayın
İlk olarak, doğrusal bir grafiğin eğimini bulmak için, doğru üzerinde iki nokta alınır ve koordinatları denkleme girilir (y2 -y1)/(x2 - x1). Ancak, yalnızca doğrusal grafikler için kullanılabilir. İkinci dereceden denklemler ve üstü için, çizgi bir eğri olacaktır, bu nedenle iki nokta arasındaki farkı bulmak çok doğru değildir. Bir eğri grafiğinde teğetin eğimini bulmak için iki nokta alınır ve eğri grafiğinin eğimini bulmak için genel denkleme konur: [f(x + dx) - f(x)]/dx. Dx, grafiğin iki noktasındaki iki x koordinatı arasındaki fark olan delta x'i belirtir. Bu denklemin (y2 -y1)/(x2 - x1), yalnızca farklı bir biçimde. Sonuçların kesin olmayacağı bilindiği için dolaylı bir yaklaşım uygulandı. (x, f(x)) üzerindeki teğetin eğimini bulmak için dx'in 0'a yakın olması gerekir, böylece çizilen iki nokta bir noktada birleşir. Ancak 0'ı bölemezsiniz, bu nedenle iki noktalı değerleri girdikten sonra, denklemin altından dx'i çıkarmak için çarpanlara ayırma ve diğer yöntemleri kullanmanız gerekir. Bunu yaptıktan sonra dx 0 yapın ve işiniz bitti. Bu, (x, f(x)) üzerindeki teğetin eğimidir. Bir denklemin türevi, bir grafikteki herhangi bir teğetin eğimini bulmak için kullanılan genel denklemdir. Bu çok karmaşık görünebilir, ancak aşağıda türevin nasıl alınacağını açıklamaya yardımcı olacak bazı örnekler vardır.
Yöntem 1/4: Açık Türevler
Adım 1. Denkleminizin bir tarafında zaten y varsa, açık bir türev kullanın
Adım 2. Denklemi [f(x + dx) - f(x)]/dx denklemine yerleştirin
Örneğin, denklem y = x ise2, türev [(x + dx) olacaktır.2 - x2]/dx.
Adım 3. [dx(2x + dx)]/dx denklemini oluşturmak için dx'i genişletin ve kaldırın
Şimdi, üstte ve altta iki dx yayınlayabilirsiniz. Sonuç 2x + dx'tir ve dx sıfıra yaklaştıkça türev 2x'tir. Bu, grafiğin herhangi bir tanjantının eğiminin y = x olduğu anlamına gelir.2 2x'tir. Eğimini bulmak istediğiniz noktanın x değerini girmeniz yeterlidir.
Adım 4. Benzer denklemleri türetmek için kalıpları öğrenin
İşte bazı örnekler.
- Herhangi bir üs, kuvvet çarpı değerin 1'den küçük bir kuvvete yükseltilmiş halidir. Örneğin, x'in türevi.5 5x4, ve x'in türevi3, 5 ii3, 5x2, 5. Zaten x'in önünde bir sayı varsa, onu kuvvetle çarpmanız yeterlidir. Örneğin 3x'in türevi4 12x3.
- Herhangi bir sabitin türevi sıfırdır. Yani 8'in türevi 0'dır.
- Toplamın türevi, ilgili türevlerin toplamıdır. Örneğin, x'in türevi3 + 3x2 3x2 + 6x.
- Ürünün türevi, birinci faktör çarpı ikinci faktörün türevi artı ikinci faktör çarpı birinci faktörün türevidir. Örneğin, x'in türevi3(2x + 1) x'tir3(2) + (2x + 1)3x2, ki bu 8x'e eşittir3 + 3x2.
- Bölümün türevi (örneğin, f/g) [g(f'nin türevi) - f(g'nin türevi)]/g'dir.2. Örneğin, (x)'in türevi2 + 2x - 21)/(x - 3) (x'tir)2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Yöntem 2/4: Örtülü Türevler
Adım 1. Denkleminiz zaten bir tarafta y ile yazılamıyorsa, örtük türevleri kullanın
Aslında, y'yi bir tarafa yazsaydınız, dy/dx'i hesaplamak sıkıcı olurdu. İşte bu tür bir denklemi nasıl çözebileceğinize dair bir örnek.
Adım 2. Bu örnekte, x2y + 2y3 = 3x + 2y, y'yi f(x) ile değiştirin, böylece y'nin aslında bir fonksiyon olduğunu hatırlayacaksınız.
Denklem daha sonra x olur2f(x) + 2[f(x)]3 = 3x + 2f(x).
Adım 3. Bu denklemin türevini bulmak için denklemin her iki tarafını da x'e göre türet
Denklem daha sonra x olur2f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]2f'(x) = 3 + 2f'(x).
Adım 4. f(x)'i tekrar y ile değiştirin
f(x)'den farklı olan f'(x)'i değiştirmemeye dikkat edin.
Adım 5. f'(x)'i bulun
Bu örneğin cevabı (3 - 2xy)/(x olur2 + 6y2 - 2).
Yöntem 3/4: Yüksek Dereceli Türevler
Adım 1. Daha yüksek mertebeden bir fonksiyon türetme, türevi türettiğiniz anlamına gelir (2. mertebeden)
Örneğin, problem sizden üçüncü dereceden türetmenizi istiyorsa, türevin türevinin türevini alın. Bazı denklemler için yüksek dereceli türev 0 olacaktır.
Yöntem 4/4: Zincir Kuralı
Adım 1. y, z'nin bir diferansiyel işleviyse ve z, x'in bir diferansiyel işleviyse, y, x'in bileşik bir işlevidir ve y'nin x'e göre türevi (dy/dx) (dy/du)* (du/dx)
Zincir kuralı ayrıca aşağıdaki gibi güç denklemlerinin bir kombinasyonu olabilir: (2x4 - x)3. Türevi bulmak için çarpma kuralı gibi düşünün. Denklemi kuvvetle çarpın ve kuvvete 1 azaltın. Ardından denklemi, parantez içindeki denklemin gücü artıran türeviyle çarpın (bu durumda, 2x^4 - x). Bu sorunun cevabı 3(2x)4 - x)2(8x3 - 1).
İpuçları
- Çözülmesi zor bir problem gördüğünüzde endişelenmeyin. Çarpma, bölüm vb. kurallarını uygulayarak mümkün olduğu kadar küçük parçalara ayırmaya çalışın. Ardından, her parçayı indirin.
- Çarpma kuralı, bölüm kuralı, zincir kuralı ve özellikle örtük türevlerle çalışın, çünkü bu kurallar matematikte çok daha zordur.
- Hesap makinenizi iyi anlayın; Nasıl kullanılacağını öğrenmek için hesap makinenizdeki farklı işlevleri deneyin. Varsa hesap makinenizde teğet ve türev fonksiyonlarının nasıl kullanılacağını bilmek çok faydalıdır.
- Temel trigonometrik türevleri ve bunların nasıl kullanılacağını hatırlayın.
