En Büyük Ortak Faktör (GCF) olarak da adlandırılan iki tamsayının En Büyük Ortak Bölen (PTS), her iki sayının da böleni (faktörü) olan en büyük tamsayıdır. Örneğin, hem 20'yi hem de 16'yı bölebilen en büyük sayı 4'tür. ilkokulda, çoğu kişiye GCF'yi bulmanın tahmin ve kontrol yöntemi öğretilir. Ancak, bunu yapmanın her zaman doğru cevabı veren daha basit ve daha sistematik bir yolu vardır. Bu yönteme Öklid algoritması denir. İki tamsayının En Büyük Ortak Çarpanı'nı nasıl bulacağınızı gerçekten bilmek istiyorsanız, başlamak için 1. adıma bakın.
Adım
Yöntem 1/2: Bölen Algoritmasını Kullanma
Adım 1. Tüm olumsuz işaretleri ortadan kaldırın
Adım 2. Kelime dağarcığınızı öğrenin:
32'yi 5'e bölersek,
-
- 32 bölünen bir sayıdır
- 5 böleni
- 6 bölümdür
- 2 kalandır (veya modulo).
Adım 3. İki sayıdan büyük olan sayıyı belirleyin
Daha büyük sayı bölünen sayı olacak ve daha küçük olan bölen olacaktır.
Adım 4. Bu algoritmayı yazın:
(bölünmüş sayı) = (bölen) * (alıntı) + (kalan)
Adım 5. Bölünecek sayının yerine büyük sayıyı, bölen olarak da küçük sayıyı koyun
Adım 6. Büyük sayının küçük sayıya bölünmesinin sonucunun ne olduğunu belirleyin ve sonucu bölüm olarak girin
Adım 7. Kalanı hesaplayın ve algoritmada uygun yere girin
Adım 8. Algoritmayı yeniden yazın, ancak bu sefer A) eski böleni bölen olarak kullanın ve B) kalanı bölen olarak kullanın
Adım 9. Kalan sıfır olana kadar önceki adımı tekrarlayın
Adım 10. Son bölen aynı en büyük bölendir
Adım 11. İşte 108 ve 30'un GCF'sini bulmaya çalıştığımız bir örnek:
Adım 12. İlk sıradaki 30 ve 18'in ikinci sırayı oluşturmak için nasıl konum değiştirdiğine dikkat edin
Ardından, üçüncü sırayı oluşturmak için 18 ve 12 konumları ve dördüncü sırayı oluşturmak için 12 ve 6 konumları değiştirin. Çarpma işaretini izleyen 3, 1, 1 ve 2 yeniden görünmez. Bu sayı, bölene bölünen sayının sonucunu temsil eder, böylece her satır farklı olur.
Yöntem 2/2: Asal Faktörleri Kullanma
Adım 1. Olumsuz işaretleri ortadan kaldırın
Adım 2. Sayıların asal çarpanlarını bulun ve listeyi aşağıda gösterildiği gibi yazın
-
24 ve 18'i sayı örnekleri olarak kullanma:
- 24- 2x2x2x3
- 18- 2x3x3
-
Örnek sayı olarak 50 ve 35'i kullanarak:
- 50- 2x5x5
- 35- 5x7
Adım 3. Eşit olan tüm asal faktörleri tanımlayın
-
24 ve 18'i sayı örnekleri olarak kullanma:
-
24-
Adım 2. x 2 x 2
Aşama 3.
-
18-
Adım 2
Aşama 3. x 3
-
-
Örnek sayı olarak 50 ve 35'i kullanarak:
-
50- 2x
Adım 5. x 5
-
35-
Adım 5. x 7
-
Adım 4. Faktörleri aynı şekilde çarpın
-
24 ve 18. sorularda çarpın
Adım 2. da
Aşama 3. almak için
Adım 6.. Altı, 24 ve 18'in en büyük ortak bölenidir.
-
Örnek 50 ve 35'te hiçbir sayı çarpılamaz.
Adım 5. ortak olan tek faktördür ve bu nedenle en büyük faktördür.
Adım 5. Bitti
İpuçları
- Bunu mod = kalan gösterimini kullanarak yazmanın bir yolu, a mod b = 0 ise GCF(a, b) = b, aksi takdirde GCF(a, b) = GCF(b, a mod b) şeklindedir.
- Örneğin, GCF'yi (-77, 91) bulun. İlk olarak, -77 yerine 77 kullanıyoruz, bu nedenle GCF(-77, 91) GCF(77, 91) olur. Şimdi, 77, 91'den küçük, bu yüzden onları değiştirmemiz gerekecek, ama eğer yapamazsak algoritmanın bu şeyleri nasıl çözdüğünü görelim. 77 mod 91'i hesapladığımızda 77 elde ederiz (çünkü 77 = 91 x 0 + 77). Sonuç sıfır olmadığı için (a, b) ile (b, a mod b) arasında geçiş yaparız ve sonuç: GCF(77, 91) = GCF(91, 77). 91 mod 77, 14 verir (unutmayın, bu 14'ün faydasız olduğu anlamına gelir). Kalan sıfır olmadığından, GCF(91, 88)'i GCF(77, 14)'e dönüştürün. 77 mod 14, sıfır olmayan 7'yi döndürür, bu nedenle GCF(77, 14)'ü GCF(14, 7) olarak değiştirin. 14 mod 7 sıfır, yani 14 = 7 * 2 kalansız, yani duruyoruz. Bu da şu anlama gelir: GCF(-77, 91) = 7.
- Bu teknik özellikle kesirleri sadeleştirirken kullanışlıdır. Yukarıdaki örnekte, -77/91 kesri -11/13'e sadeleşir, çünkü 7 -77 ve 91'in en büyük eşit bölenidir.
- Eğer 'a' ve 'b' sıfır ise, o zaman sıfır olmayan hiçbir sayı onları bölemez, bu nedenle teknik olarak problemde hiçbir en büyük bölen aynı değildir. Matematikçiler genellikle 0 ve 0'ın en büyük ortak böleninin 0 olduğunu söylerler ve bu şekilde aldıkları cevap budur.
