Pisagor teoremi, bir dik üçgenin kenarlarının uzunluklarını zarif ve pratik bir şekilde tanımlar, bu nedenle bu teorem bugün hala yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu teorem, herhangi bir dik üçgen için açılı olmayan kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir. Başka bir deyişle, dik kenarları a ve b ve hipotenüsü c olan bir dik üçgen için, a2 + b2 = c2.
Pisagor teoremi, temel geometrinin temel direklerinden biridir. Örneğin, bir koordinat düzleminde iki nokta arasındaki mesafeyi bulmayı kolaylaştırmak için bu teoremi kullanan sayısız uygulama vardır.
Adım
Yöntem 1/2: Bir Dik Üçgenin Kenarlarını Bulma
Adım 1. Üçgeninizin bir dik üçgen olduğundan emin olun
Pisagor teoremi sadece dik üçgenler için geçerlidir, bu nedenle devam etmeden önce üçgenlerinizin dik üçgenlerin özelliklerine uyduğundan emin olmak çok önemlidir. Neyse ki, üçgeninizin bir dik üçgen olduğunu gösterebilecek bir faktör var. Üçgeninizin bir 90 derecelik açısı olmalıdır.
Bir işaret olarak, dik üçgenler genellikle 90 derecelik açıları işaretlemek için küçük karelerle işaretlenir, kavisli "eğriler" kullanılmaz. Üçgeninizin köşesinde bu özel işareti arayın
Adım 2. Üçgeninizin kenarları için a, b ve c değişkenlerini verin
Pisagor Teoreminde a ve b değişkenleri dik üçgende buluşan kenarları temsil ederken, c değişkeni hipotenüsü, yani dik açının karşısındaki uzun kenarı temsil eder. Başlangıç olarak, üçgeninizin kısa kenarlarını a ve b değişkenleriyle işaretleyin (bunları değiş tokuş etmeniz önemli değil) ve hipotenüsü c değişkeniyle işaretleyin.
Adım 3. Üçgenin hangi tarafını çözmek istediğinize karar verin
Pisagor teoremi, matematikçilerin diğer iki kenarın uzunluklarını bildikleri sürece bir dik üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğunu bulmalarına izin verir. Hangi tarafın bilinmediğini belirleyin - a, b ve/veya c. Bir tarafınızın uzunluğu bilinmiyorsa, ilerlemeye hazırsınız.
- Örneğin, bir üçgenin hipotenüsünün uzunluğunun 5 ve diğer kenarlardan birinin uzunluğunun 3 olduğunu biliyoruz, ancak üçüncü kenarın uzunluğundan emin değiliz. Bu durumda üçüncü kenarın uzunluğunu aradığımızı biliyoruz ve diğer ikisinin uzunluklarını bildiğimize göre çözebiliriz! Aşağıdaki adımlarla bu sorun üzerinde çalışacağız.
- İki kenarın uzunluklarını bilmiyorsanız, Pisagor Teoremini kullanabilmek için kenarlardan birini bilmeniz gerekir. Bir üçgenin eğimli olmayan bir tarafını biliyorsanız, temel trigonometrik fonksiyonlar size yardımcı olabilir.
Adım 4. Zaten bildiğiniz çift taraflı değerleri denklemin içine yerleştirin
Üçgeninizin kenarlarının uzunluklarını a denklemine yerleştirin.2 + b2 = c2. a ve b'nin eğimli olmayan kenarlar olduğunu, c'nin ise hipotenüs olduğunu unutmayın.
Örneğimizde, kenarlardan birinin ve hipotenüsün (3 ve 5) uzunluğunu biliyoruz, bu nedenle denklem şöyle olur: 3² + b² = 5²
Adım 5. Kare
Denklemi çözmek için bilinen tarafların karesini alarak başlayın. Alternatif olarak, bunu daha kolay bulursanız, kenar uzunluklarınızı kare olarak bırakabilir ve daha sonra karesini alabilirsiniz.
-
Örneğimizde, 3 ve 5'in karesini alacağız, böylece
Adım 9. da
Adım 25.. Denklemi 9 + b² = 25 olarak yazabiliriz.
Adım 6. Bilinmeyen değişkeni denklemin diğer tarafına taşıyın
Gerekirse, bilinmeyen değişkeni denklemin diğer tarafına ve diğer iki değişkenin karesini diğer tarafa taşımak için temel cebirsel işlemleri kullanın. Hipotenüsün uzunluğunu bulmak istiyorsanız, c zaten denklemin diğer tarafındadır, dolayısıyla onu hareket ettirmek için hiçbir şey yapmanız gerekmez.
Örneğimizde mevcut denklem 9 + b² = 25'tir. b²'yi hareket ettirmek için denklemin her iki tarafını da 9 ile çıkarın, böylece sonuç b² = 16 olur
Adım 7. Denklemin her iki tarafının karekökü
Şimdi sadece bir değişkenin karesi bir tarafta, diğer tarafta sayıdır. Bilinmeyen kenarın uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökü.
-
Örneğimizde b² = 16, her iki tarafın karekökünü almak b = 4'ü verir. Böylece üçgenin bilinmeyen kenar uzunluğunun olduğunu söyleyebiliriz.
Adım 4..
Adım 8. Gerçek bir dik üçgenin kenarlarını bulmak için Pisagor Teoremini kullanın
Pisagor Teoreminin günümüzde yaygın olarak kullanılmasının nedeni, sayısız pratik duruma uygulanabilmesidir. Gerçek hayatta dik üçgenleri bilmeyi öğrenin - iki nesnenin veya düz çizginin bir dik açıyla buluştuğu ve üçüncü nesnenin veya çizginin iki nesneyi veya çizgiyi çapraz olarak birleştirdiği herhangi bir durumda, o zaman kenar uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremini kullanabilirsiniz. diğeri, diğer iki kenarın uzunlukları biliniyorsa.
-
Biraz daha zor olan gerçek bir örnek deneyelim. Bir merdiven bir binaya yaslanıyor. Merdivenlerin alt kısmından duvara kadar olan mesafe 5 metredir. Merdivenlerin yüksekliği 20 metreye ulaşıyor. Merdiven ne kadar uzun?
-
Duvardan 5 metre ve 20 metre yükseklik bize üçgenin kenar uzunluklarını söyler. Duvar ve zemin (varsayılan) bir dik açı oluşturduğundan ve merdiven duvara çapraz olarak desteklendiğinden, bu düzenleme kenar uzunlukları a = 5 ve b = 20 olan bir dik üçgen olarak kabul edilebilir. Merdivenin uzunluğu hipotenüstür., yani c'nin değeri bilinmiyor. Pisagor Teoremini kullanalım:
- a² + b² = c²
- (5)² + (20)² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- kök(425) = c
- c = 20.6. Merdivenin yaklaşık uzunluğu 20,6 metre.
-
Yöntem 2/2: X-Y Düzleminde İki Nokta Arasındaki Mesafeyi Hesaplama
Adım 1. X-Y düzleminde iki nokta bulun
Pisagor teoremi, X-Y düzleminde iki nokta arasındaki düz çizgi mesafesini hesaplamak için kolayca kullanılabilir. Tüm bilmeniz gereken iki noktanın x ve y koordinatlarıdır. Genellikle bu koordinatlar (x, y) şeklinde birlikte yazılır.
Bu iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için her noktayı bir dik üçgenin dik olmayan açılarından biri olarak ele alacağız. Bunu yapmak, a ve b kenarlarının uzunluklarını bulmayı kolaylaştıracak ve ardından iki nokta arasındaki mesafe olan hipotenüs c'yi hesaplayacaktır
Adım 2. Resimde iki noktanızı çizin
Düzenli bir X-Y düzleminde, her (x, y) noktası bir yatay koordinatı ve y dikey bir koordinatı temsil eder. İki nokta arasındaki mesafeyi çizmeden bulabilirsiniz, ancak bunu yapmak size cevabınızın doğru olup olmadığını görmek için kullanabileceğiniz görsel bir görüntü verecektir.
Adım 3. Üçgeninizin eğimli olmayan tarafının uzunluğunu bulun
Hipotenüse komşu olan üçgenin açıları olarak iki noktayı kullanarak üçgenin a ve b kenarlarının uzunluklarını bulun. Bunu bir görüntü kullanarak veya |x formülünü kullanarak yapabilirsiniz.1 - x2| yatay taraf ve |y için1 -y2| (x) ile dikey taraf için1, y1) ilk nokta olarak ve (x2, y2) ikinci nokta olarak.
-
İki noktamız (6, 1) ve (3, 5) olsun. Üçgenimizin yatay kenarının uzunluğu:
- |x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Aşama 3.
-
Dikey kenarın uzunluğu:
- |y1 -y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Adım 4.
- Yani, dik üçgenimizde kenar a = 3 ve kenar b = 4.
Adım 4. Hipotenüsün uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremini kullanın
İki nokta arasındaki mesafe, iki tarafını az önce bulduğunuz üçgenin hipotenüsünün uzunluğudur. a'nın birinci kenarın uzunluğu ve b'nin ikinci kenarın uzunluğu olduğu hipotenüsü bulmak için Pisagor Teoremini kullanın.
-
Örneğimizde, kenar uzunlukları 3 ve 4 olan (3, 5) ve (6, 1) noktalarını kullanıyoruz, böylece hipotenüsü aşağıdaki gibi bulabiliriz:
-
- (3)²+(4)²= c²
- c= kök (9+16)
- c= kök(25)
-
c= 5. (3, 5) ile (6, 1) arasındaki uzaklık
Adım 5..
-
İpuçları
-
Hipotenüs her zaman:
- dik açının karşısında (dik açıya dokunmadan)
- bir dik üçgende en uzun kenar
- Pisagor teoreminde c olarak adlandırılır
- kök (x), x'in karekökü anlamına gelir.
- Cevaplarınızı her zaman kontrol etmeyi unutmayın. Cevabınız yanlış görünüyorsa, tekrar deneyin ve tekrar deneyin.
- Üçgen bir dik üçgen değilse, yalnızca diğer iki kenarın uzunluklarına değil, ek bilgilere de ihtiyacınız vardır.
- Kontrol etmenin başka bir yolu - en uzun kenar en büyük açının karşısındadır ve en kısa kenar en küçük açının karşısındadır.
- Rakamlar, a, b ve c için doğru değerleri yazmanın anahtarıdır. Bir hikaye problemi üzerinde çalışıyorsanız, problemi önce resimli olarak yazdığınızdan emin olun.
- Yalnızca bir kenarın uzunluğunu biliyorsanız, Pisagor Teoremi çalışmaz. Trigonometri (sin, cos, tan) veya 30-60-90 / 45-45-90 oranlarını kullanmayı deneyin.
