Cebire hakim olmak, ister ilkokulda ister lisede olsun, hemen hemen her tür matematiğe devam etmek için gereklidir. Her matematik seviyesinin bir temeli vardır, bu nedenle her matematik seviyesi çok önemlidir. Bununla birlikte, en temel cebirsel beceriler bile, yeni başlayanlar için bunlarla ilk karşılaştıklarında kavramaları zor olabilir. Temel cebir konularında sorun yaşıyorsanız, endişelenmeyin - biraz fazladan açıklama, birkaç kolay örnek ve becerilerinizi geliştirmek için birkaç ipucu ile, yakında bir profesyonel gibi cebir problemlerini çözeceksiniz.
Adım
Bölüm 1/5: Cebirin Temel Kurallarını Öğrenmek
Adım 1. Temel matematik işlemlerinizi gözden geçirin
Cebir öğrenmeye başlamak için toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi temel matematik becerilerini bilmeniz gerekir. Bu ilkokul/ilkokul matematiği, cebir çalışmaya başlamadan önce çok önemlidir. Bu becerilerde ustalaşmazsanız, cebirde öğretilen daha karmaşık kavramları tamamlamanız zor olacaktır. Bu işlemler için bir tazelemeye ihtiyacınız varsa, temel matematik becerileri hakkındaki makalemizi deneyin.
Cebir problemleri yapmak için kafanızda bu temel işlemleri yapmakta iyi olmanıza gerek yok. Birçok cebir sınıfı, bu basit işlemleri yaparken zaman kazanmak için bir hesap makinesi kullanmanıza izin verir. Ancak, hesap makinesi kullanmanıza izin verilmediğinde en azından bu işlemleri hesap makinesi olmadan nasıl yapacağınızı bilmelisiniz
Adım 2. İşlemlerin sırasını bilin
Yeni başlayan biri olarak cebirsel denklemleri çözmenin en zor yanlarından biri, başladıkları sırayı bilmektir. Neyse ki, bu problemleri çözmenin belli bir sırası var: önce parantez içindeki herhangi bir matematiksel işlemi yapın, sonra üsleri yapın, sonra çarpın, sonra bölün, sonra toplayın ve son olarak çıkarın. Bu işlemlerin sırasını hatırlamanın yararlı bir yolu, kısaltmalardır. KPKBJK. İşlem sırasını nasıl uygulayacağınızı buradan öğrenin. Özetlemek gerekirse, işlem sırası şöyledir:
- Khata
- Pkaldırma/Üs
- Kali
- BYeniden
- Jumlah
- Kkarides
-
Cebirde işlem sırası önemlidir çünkü bir cebir probleminde işlemleri yanlış sırayla yapmak bazen cevabı etkileyebilir. Örneğin, 8 + 2 × 5 matematik problemini yaparsak, önce 2 ve 8'i toplarsak, 10 × 5 = elde ederiz. 50ama önce 2 ile 5'i çarparsak 8 + 10 =
Adım 18.. Sadece ikinci cevap doğrudur.
Adım 3. Negatif sayıları nasıl kullanacağınızı bilin
Cebirde negatif sayıların kullanımı çok yaygındır. Bu nedenle, cebir öğrenmeye başlamadan önce negatif sayıları nasıl toplayacağınızı, çıkaracağınızı, çarpacağınızı ve böleceğinizi gözden geçirmek iyi bir fikirdir. İşte hatırlamanız gereken bazı temel negatif sayılar - daha fazla bilgi için, negatif sayıları toplama ve çıkarma ve negatif sayıları bölme ve çarpma ile ilgili makalelerimize göz atın.
- Sayı doğrusunda, bir sayının negatif versiyonu, pozitif sayının sıfırdan uzaklığıyla aynı, ancak ters yöndedir.
- İki negatif sayı eklemek, sayıyı daha da negatif hale getirir (başka bir deyişle, basamak daha büyük olur, ancak sayı negatif olduğu için değer daha küçük olur)
- İki negatif işaret birbirini götürür - negatif bir sayıyı çıkarmak, pozitif bir sayı eklemekle aynıdır
- İki negatif sayıyı çarpmak veya bölmek olumlu bir cevap verir.
- Pozitif bir sayı ile negatif bir sayıyı çarpmak veya bölmek, olumsuz bir cevap verir.
Adım 4. Uzun soruları nasıl yapılandıracağınızı bilin
Basit cebir problemleri kolayca çözülebilirken, daha karmaşık problemler birçok adım gerektirebilir. Hatalardan kaçınmak için, sorununuzu tamamlamak için her adım attığınızda yeni bir satıra başlayarak işinizi düzenli tutun. İki taraflı bir denklemle çalışıyorsanız, tüm eşittir işaretlerini (“=”) diğer eşittir işaretlerinin altına yazmaya çalışın. Bu sayede bir yerde hata yaparsanız onu bulup düzeltmeniz daha kolay olacaktır.
-
Örneğin, 9/3 - 5 + 3 × 4 denklemini çözmek için problemimizi şu şekilde yapılandırabiliriz:
-
- 9/3 - 5 + 3 × 4
- 9/3 - 5 + 12
- 3 - 5 + 12
- 3 + 7
- Adım 10.
-
Bölüm 2/5: Değişkenleri Anlama
Adım 1. Sayı olmayan sembolleri arayın
Cebirde, matematik problemlerinizde sadece sayıların değil, harflerin ve sembollerin de göründüğünü görmeye başlayacaksınız. Bu harf ve sembollere değişken denir. Değişkenler ilk bakışta göründükleri kadar kafa karıştırıcı değildirler – sadece bilinmeyen değerlere sahip sayıları yazmanın bir yoludur. Aşağıda cebirdeki değişkenlerin birkaç yaygın örneği verilmiştir:
- x, y, z, a, b ve c gibi harfler
- teta gibi Yunan harfleri veya
- Tüm sembollerin bilinmeyen değişkenler olmadığını unutmayın. Örneğin, pi veya, her zaman yaklaşık 3.1459'a eşittir.
Adım 2. Değişkenleri "bilinmeyen" sayılar olarak düşünün
Yukarıda bahsedildiği gibi, değişkenler temelde sadece bilinmeyen değerlere sahip sayılardır. Genellikle cebir problemlerindeki amacınız bir değişkenin değerini bulmaktır - değişkeni bulmaya çalıştığınız "gizemli sayı" olarak düşünün.
-
Örneğin, 2x + 3 = 11 denkleminde x değişkenimizdir. Bu, denklemin sol tarafını 11'e eşitlemek için x'in yerini alan birkaç değer olduğu anlamına gelir. 2 × 4 + 3 = 11 olduğundan, bu durumda x =
Adım 4..
-
Değişkenleri anlamaya başlamanın kolay bir yolu, onları cebir problemlerinde soru işaretleri ile değiştirmektir. Örneğin, 2 + 3 + x = 9 denklemini 2 + 3 + olarak yeniden yazabiliriz.?
= 9. Bu, yapmaya çalıştığımız şeyleri anlamamızı kolaylaştırır - 9'u elde etmek için 2 + 3 = 5'e eklenmesi gereken değeri bulmamız yeterlidir.
Adım 4..
Adım 3. Bir değişken birden fazla kez meydana gelirse, değişkeni basitleştirin
Aynı değişken bir denklemde birden fazla görünüyorsa ne yaparsınız? Bu durumu çözmek zor gibi görünse de, aslında değişkenlere normal sayılar gibi davranabilirsiniz - başka bir deyişle, yalnızca benzer değişkenleri birleştirdiğiniz sürece onları toplayabilir, çıkarabilir vb. Başka bir deyişle, x + x = 2x, ancak x + y, 2xy'ye eşit değil.
-
Örneğin 2x + 1x = 9 denklemine bakalım. Bu problemde 2x ve 1x toplayarak 3x = 9 elde edebiliriz. 3 x 3 = 9 olduğuna göre x = olduğunu biliyoruz.
Aşama 3..
- Yalnızca aynı değişkenleri birlikte ekleyebileceğinizi tekrar unutmayın. 2x + 1y = 9 denkleminde 2x ve 1y farklı değişkenler olduğu için birleştiremiyoruz.
- Bu, bir değişkenin diğer değişkenden farklı bir üssü olduğunda da geçerlidir. Örneğin, 2x + 3x denkleminde2 = 10, 2x ve 3x'i birleştiremeyiz2 çünkü x değişkeninin farklı bir üssü var. Daha fazla bilgi için üslerin nasıl ekleneceğini görün.
Bölüm 3/5: Denklemleri "Yoksayarak" Nasıl Çözeceğinizi Öğrenmek
Adım 1. Cebirsel denklemlerdeki değişkenleri ayırmaya çalışın
Cebirde denklemleri çözmek genellikle değişkenin değerini bulmak anlamına gelir. Cebirsel denklemler genellikle her iki taraftaki sayılardan ve/veya değişkenlerden oluşur, örneğin: x + 2 = 9 × 4. Değişkenin değerini bulmak için değişkeni eşittir işaretinin bir tarafında izole etmeniz gerekir. Eşittir işaretinin diğer tarafında ne kaldıysa o sizin cevabınızdır.
Örnekte (x + 2 = 9 × 4), denklemin sol tarafında x'i yalnız bırakmak için "+ 2"yi elememiz gerekiyor. Bunu yapmak için sadece o taraftan 2 çıkarmamız ve bize x = 9 × 4 bırakmamız gerekiyor. Ancak denklemin her iki tarafını da eşit tutmak için diğer taraftan da 2 çıkarmamız gerekiyor. Bu bizi x = 9 × 4 – 2 ile bırakır. İşlem sırasına göre önce çarpar, sonra çıkarırız, cevabımızı veririz x = = 36 - 2 = 34.
Adım 2. Toplama işlemini çıkarma ile ortadan kaldırın (ve tersi)
Az önce gördüğümüz gibi, eşittir işaretinin bir tarafında x'i izole etmek, genellikle yanındaki sayıları ortadan kaldırmak anlamına gelir. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafında "ters" işlemi gerçekleştiriyoruz. Örneğin x + 3 = 0 denkleminde x'ten sonra "+ 3" gördüğümüz için her iki tarafa da "-3" koyacağız. "+3" ve "-3", x'i yalnız bırakarak ve "-3" eşittir işaretinin diğer tarafında, şöyle: x = -3.
-
Genel olarak, toplama ve çıkarma "ters" gibidir - bir işlemi diğerini atmak için hesaplayın. Aşağıya bakınız:
-
- Eklemek için, çıkarın. Örnek: x + 9 = 3 → x = 3 - 9
- Çıkarma için toplayın. Örnek: x - 4 = 20 → x = 20 + 4
-
Adım 3. Bölerek çarpma işlemini ortadan kaldırın (ve tersi)
Çarpma ve bölme ile çalışmak toplama ve çıkarmadan biraz daha zordur, ancak bu hesaplamalar aynı "ters" ilişkiye sahiptir. Bir tarafta "× 3" görürseniz, her iki tarafı da 3'e bölerek onu olumsuzlarsınız, vb.
-
Çarpma ve bölme ile eşittir işaretinin diğer tarafında yer alan tüm sayılar için, o taraf birden fazla sayı içerse bile, ters işlemi yapmanız gerekir. Aşağıya bakınız:
-
- Çarpma için bölün. Örnek: 6x = 14 + 2→ x = (14 + 2) /6
- Bölme için çarpın. Örnek: x/5 = 25 → x = 25 × 5
-
Adım 4. Kökü bularak üssü kaldırın (ve tersi)
Üsler oldukça gelişmiş bir cebir öncesi konudur - nasıl yapacağınızı bilmiyorsanız, daha fazla bilgi için temel üsler makalemize göz atın. Bir üssün "tersi", üs ile aynı sayıya sahip bir köktür. Örneğin, üssün tersi 2 karekök (√), üssün tersidir 3 küp köküdür (3), ve bunun gibi.
-
Bu biraz kafa karıştırıcı olabilir, ancak bu durumlarda, bir üsle çalışırken her iki tarafın da köklerini arıyorsunuz. Başka bir deyişle, kökle çalışırken her iki taraf için de üstelleştirme yapıyorsunuz. Aşağıya bakınız:
-
- Üs için kökü bulun. Örnek: x2 = 49 → x = √49
- Kökler için yükseltin. Örnek: x = 12 → x = 122
-
Bölüm 4/5: Cebir Becerilerinizi Keskinleştirin
Adım 1. Soruları daha net hale getirmek için resimleri kullanın
Bir cebir problemi hayal etmekte zorlanıyorsanız, denkleminizi göstermek için bir diyagram veya resim kullanmayı deneyin. Hatta varsa, bir grup fiziksel nesneyi (bloklar veya madeni paralar gibi) kullanmayı deneyebilirsiniz.
-
Örneğin, x + 2 = 3 denklemini kareyi (☐) kullanarak çözelim.
-
- x +2 = 3
- ☒+☐☐ =☐☐☐
- Bu adımda, her iki taraftan 2 kare (☐☐) çıkararak her iki taraftan 2 çıkaracağız:
- ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
-
=☐ veya x =
Aşama 1.
-
-
Başka bir örnek olarak, 2x = 4'ü deneyelim
-
- ☒☒ =☐☐☐☐
- Bu adımda, her iki taraftaki kutuları iki gruba ayırarak iki tarafı ayıracağız:
- ☒|☒ =☐☐|☐☐
-
= veya x =
Adım 2.
-
Adım 2. "Sağduyu kontrollerini" kullanın (özellikle hikaye soruları için)
Hikaye problemlerini cebire dönüştürürken değişkenleriniz için basit değerler girerek formüllerinizi kontrol etmeye çalışın. Denkleminiz x=0 olduğunda bir anlam ifade ediyor mu? x=1 ne zaman? x= -1 ne zaman? p=d/6 demek istediğinizde p=6d yazmak gibi basit bir hata yapmak kolaydır, ancak devam etmeden önce çalışmanız üzerinde hızlı ve sağduyulu bir kontrol yaparsanız bunları fark etmek kolay olacaktır.
Örneğin, bir futbol sahasının genişliğinden 30 m daha uzun olduğu söylendi. Bu problemi temsil etmek için p = l + 30 denklemini kullanıyoruz. l için basit değerler girerek bu denklemin anlamlı olup olmadığını kontrol edebiliriz. Örneğin, alanın genişliği l = 10 m ise uzunluk 10 + 30 = 40 m'dir. Genişlik 30 m ise uzunluk 30 + 30 = 60 m'dir, vb. Bu denklem mantıklı - genişlik arttıkça bu alanın daha uzun olmasını bekliyoruz, bu nedenle bu denklem mantıklı
Adım 3. Cebirde cevapların her zaman tamsayı olmadığına dikkat edin
Cebir ve diğer gelişmiş formlardaki cevaplar her zaman basit, yuvarlak sayılar değildir. Bu sayı ondalık, kesirli veya irrasyonel bir sayı olabilir. Bir hesap makinesi bu karmaşık yanıtları bulmanıza yardımcı olabilir, ancak öğretmeninizin yanıtlarınızı karmaşık ondalık biçimde değil, tam biçimde yazmanızı isteyebileceğini unutmayın.
Örneğin, cebirsel bir denklemi x = 1250 olarak sadeleştireceğiz.7. 1250 yazarsak7 hesap makinesinde çok fazla ondalık basamak elde edeceğiz (ayrıca hesap ekranı çok büyük olmadığı için hesap makinesi tüm cevapları gösteremez.) Bu durumda cevabımızı sadece 1250 olarak yazmak isteyebiliriz.7 veya cevabı bilimsel gösterimle yazarak basitleştirin.
Adım 4. Temel cebir konusunda kendinize güveniyorsanız, çarpanlara ayırmayı deneyin
En karmaşık cebirsel yeteneklerden biri, karmaşık denklemleri daha basit biçimlere dönüştürmek için bir tür kısayol olan faktoringdir. Faktoring, yarı gelişmiş bir cebir konusudur, bu nedenle, ustalaşmakta sorun yaşıyorsanız, yukarıda bağlantısı verilen makaleye başvurmayı düşünün. Aşağıda, denklemleri çarpanlara ayırmak için birkaç hızlı ipucu verilmiştir:
- ax + ba biçimindeki denklem a(x + b) şeklinde çarpanlara ayrılır. Örnek: 2x + 4 = 2(x + 2)
- Form baltasının denklemi2 + bx, cx((a/c)x + (b/c)) biçiminde çarpanlara ayrılır; burada c, a ve b'yi eşit olarak bölebilen en büyük sayıdır. Örnek: 3y2 + 12y = 3y(y + 4)
- x formunun denklemi2 + bx + c, (x + y)(x + z) şeklinde çarpanlara ayrılır, burada y × z = c ve yx + zx = bx olur. Örnek: x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
Adım 5. Pratik yapın, pratik yapın ve pratik yapın
Cebirde (ve diğer matematik türlerinde) ilerleme, çok fazla sıkı çalışma ve tekrar gerektirir. Endişelenmeyin - sınıfta dikkatinizi vererek, tüm ödevlerinizi yaparak ve ihtiyacınız olduğunda öğretmeninizden veya diğer öğrencilerden yardım isteyerek cebir bir alışkanlık haline gelmeye başlayacaktır.
Adım 6. Öğretmeninizden karmaşık cebirsel konuları anlamanıza yardım etmesini isteyin
Cebiri anlamakta zorluk çekiyorsanız, endişelenmeyin - tek başınıza öğrenmek zorunda değilsiniz. Sorularınız için başvurmanız gereken ilk kişi öğretmeninizdir. Dersten sonra kibarca öğretmeninizden yardım isteyin. İyi bir öğretmen genellikle okul sonrası bir toplantıda günün konusunu yeniden açıklamaya istekli olacaktır ve öğretmeniniz size ek uygulama materyalleri sağlayabilir.
Herhangi bir nedenle öğretmeniniz size yardımcı olamıyorsa, ona okulunuzdaki ek çalışma seçenekleri hakkında sorular sorun. Birçok okulda, cebir konusunda uzmanlaşmaya başlamak için ihtiyaç duyduğunuz ekstra zamanı ve dikkati elde etmenize yardımcı olabilecek bir tür okul sonrası programı vardır. Size sunulan ücretsiz yardımı kullanmanın utanılacak bir şey olmadığını unutmayın - bu, sorununuzu çözecek kadar akıllı olduğunuzun bir işaretidir
Bölüm 5/5: Orta Düzey Konuları Keşfetmek
Adım 1. x/y denkleminin grafiğini nasıl çizeceğinizi öğrenin
Grafikler cebirde değerli bir araç olabilir, çünkü sayılar gerektiren fikirleri anlaşılması kolay resimler şeklinde sunmanıza izin verirler. Tipik olarak, başlangıç cebirinde, grafik problemleri iki değişkenli (genellikle x ve y) denklemlerle sınırlıdır ve x ekseni ve y ekseni olan basit 2 boyutlu grafiklerde temsil edilir. Bu denklemlerle, tek yapmanız gereken x için bir değer girmek, ardından grafikte bir nokta haline gelen iki sayıyı elde etmek için y'yi aramak (veya tam tersi).
- Örneğin y = 3x denkleminde x için 2 girersek y = 6 elde ederiz. (2, 6) (grafiğin merkezinden iki adım sağa ve grafiğin merkezinden altı adım yukarı) bu denklemin grafiğinin bir parçasıdır.
- y = mx + b biçimindeki denklemler (m ve b sayılardır) temel cebirde çok yaygındır. Bu denklemlerin her zaman bir eğimi veya eğimi m vardır ve y eksenini y = b'de keser.
Adım 2. Eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi öğrenin
Denklemin eşittir işareti olmadığında ne yaparsın? Görünüşe göre, genellikle yaptığınızdan çok farklı değil. > ("büyüktür") ve < ("küçüktür") gibi işaretler kullanan eşitsizlikler için, her zamanki gibi çözmeniz yeterlidir. Değişkeninizden daha küçük veya daha büyük bir cevap bırakacaksınız.
-
Örneğin, 3 > 5x – 2 denklemiyle, normal bir denklem gibi çözerdik:
-
- 3 > 5x - 2
- 5 > 5x
- 1 > x veya x < 1.
-
- Bu, birden küçük herhangi bir sayının bir x değeri olabileceği anlamına gelir. Başka bir deyişle, x 0, -1, -2 vb. olabilir. Bu sayıları x denklemine eklersek, her zaman 3'ten küçük bir cevap alırız.
Adım 3. İkinci dereceden denklemler üzerinde çalışın
Yeni başlayanların zorlanabileceği cebirsel konulardan biri de ikinci dereceden denklemleri çözmektir. Kare, eksen formunun bir denklemidir.2 + bx + c = 0, burada a, b ve c sayılardır (a'nın 0 olamayacağı hariç). Bu denklemler x = [-b +/- (b) formülüyle çözülür.2 - 4ac)]/2a. Dikkatli olun - +/- işareti, bu tür sorulara iki yanıt alabilmeniz için toplama ve çıkarma işlemlerinin yanıtlarını bulmanız gerektiği anlamına gelir.
-
Örneğin, ikinci dereceden formül 3x'i çözelim2 + 2x -1 = 0.
-
- x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a
- x = [-2 +/- (22 - 4(3)(-1))]/2(3)
- x = [-2 +/- (4 - (-12))]/6
- x = [-2 +/- (16)]/6
- x = [-2 +/- 4]/6
- x = - 1 ve 1/3
-
Adım 4. Denklem sistemleriyle deney yapın
Aynı anda birden fazla denklemi çözmek çok karmaşık gelebilir, ancak basit cebirsel denklemlerle çalışırken, aslında o kadar da zor değil. Çoğu zaman, cebir öğretmenleri bu problemleri çözmek için grafiksel bir yaklaşım kullanır. İki denklemden oluşan bir sistemle çalışırken, çözümler grafikte iki denklemin doğrularının kesiştiği noktalardır.
- Örneğin denklemleri y = 3x – 2 ve y = -x – 6 olan bir sistemle çalışıyoruz. bu dik bir açıyla aşağı iner. Bu doğrular noktada kesiştiği için (-1, -5), o zaman bu nokta bu sistemin çözümüdür.
-
Sorunumuzu kontrol etmek istiyorsak, cevabımızı sistemdeki denkleme sokarak yapabiliriz - doğru cevap her iki denklem için de "doğru" olacaktır.
-
- y = 3x - 2
- -5 = 3(-1) - 2
- -5 = -3 - 2
- -5 = -5
- y = -x - 6
- -5 = -(-1) - 6
- -5 = 1 - 6
- -5 = -5
-
- Her iki denklem de "kontrol edildi", yani cevabımız doğru!
İpuçları
- İnternetten cebir öğrenmek için birçok kaynak var. Örneğin, bir arama motorunda "cebirsel formüller" arayın. Ortaya çıkacak çok güzel sonuçlar var. Ayrıca çeşitli wikiHow matematik makalelerine göz atmayı da deneyebilirsiniz. Orada çok fazla bilgi var, bu yüzden şimdi keşfetmeye başlayın!
- Cebire yeni başlayanlar için harika bir site khanacademy.com'dur. Bu ücretsiz site, cebir de dahil olmak üzere çok çeşitli konularda takip etmesi kolay düzinelerce ders sunar. Çok kolay temel bilgilerden ileri üniversite düzeyindeki konulara kadar tüm bu konular için videolar var. Bu yüzden Khan Academy'nin materyallerini keşfetmekten korkmayın ve sitenin sunduğu tüm yardımları kullanmaya başlayın!
- Cebir öğrenmeye çalışırken en iyi kaynaklarınızın iyi tanıdığınız insanları içerdiğini unutmayın. Arkadaşlarınıza veya sınıf arkadaşlarınıza anlamadığınız son dersi sorun.
