Kare Grafik Nasıl Çizilir: 10 Adım (Resimlerle)

2024 Yazar: Jason Gerald | [email protected]. Son düzenleme: 2024-02-01 14:16

Grafik olarak temsil edildiğinde, ikinci dereceden denklem şu şekildedir: balta² + bx + c veya a(x - h)² + k U harfini veya parabol adı verilen ters U eğrisini oluşturur. İkinci dereceden bir denklemin grafiğini çizmek, tepe noktasını, yönü ve genellikle x ve y kesişimini aramaktır. Oldukça basit ikinci dereceden denklemler söz konusu olduğunda, bir dizi x değeri girmek ve elde edilen noktalara dayalı olarak eğriyi çizmek yeterli olabilir. Başlamak için aşağıdaki 1. Adıma bakın.

Adım

Adım 1. Sahip olduğunuz ikinci dereceden denklemin şeklini belirleyin

İkinci dereceden denklemler üç farklı biçimde yazılabilir: genel biçim, köşe biçimi ve ikinci dereceden biçim. İkinci dereceden bir denklemin grafiğini oluşturmak için herhangi bir formu kullanabilirsiniz; her bir grafiği gösterme süreci biraz farklıdır. Ödev yapıyorsanız, genellikle bu iki biçimden birinde sorular alırsınız - başka bir deyişle, seçim yapamazsınız, bu nedenle her ikisini de anlamak en iyisidir. İkinci dereceden denklemin iki formu şunlardır:

• Genel form.

  Bu formda, ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: f(x) = ax² + bx + c burada a, b ve c reel sayılardır ve a sıfır değildir.

  Örneğin, genel formun iki ikinci dereceden denklemi f(x) = x'tir.² + 2x + 1 ve f(x) = 9x² + 10x -8.

• Tepe şekli.

  Bu formda, ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: f(x) = a(x - h)² + k burada a, h ve k reel sayılardır ve a sıfır değildir. Köşe formu denir çünkü h ve k, (h, k) noktasındaki parabolünüzün tepe noktasını (orta noktayı) hemen verecektir.

  İki köşe formu denklemi f(x) = 9(x - 4)'tür.² + 18 ve -3(x - 5)² + 1

• Herhangi bir denklem türünün grafiğini çizmek için önce eğrinin sonundaki orta nokta (h, k) olan parabolün tepe noktasını bulmalıyız. Genel formdaki piklerin koordinatları h = -b/2a ve k = f(h) şeklinde hesaplanırken, tepe formunda h ve k denklemdedir.

Adım 2. Değişkenlerinizi tanımlayın

İkinci dereceden bir problemi çözmek için, genellikle a, b ve c (veya a, h ve k) değişkenlerinin tanımlanması gerekir. Sıradan bir cebir problemi, genellikle genel formda, ancak bazen pik formda mevcut değişkenlerle ikinci dereceden bir denklem verecektir.

• Örneğin, genel formdaki bir denklem için f(x) = 2x² +16x + 39, elimizde a = 2, b = 16 ve c = 39 var.
• Pik form denklemi için f(x) = 4(x - 5)² + 12, elimizde a = 4, h = 5 ve k = 12 var.

Adım 3. h hesaplayın

Köşe formu denkleminde h değeriniz zaten verilmiş ancak genel form denkleminde h değerinin hesaplanması gerekiyor. Genel formdaki denklemler için h = -b/2a olduğunu unutmayın.

• Genel form örneğimizde (f(x) = 2x² +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Çözdükten sonra h = olduğunu buluruz. - 4.
• Köşe formu örneğimizde (f(x) = 4(x - 5)² + 12), h = 5 olduğunu hiç matematik yapmadan biliyoruz.

Adım 4. k'yi hesaplayın

h gibi, k zaten tepe formunun denkleminde bilinmektedir. Genel formdaki denklemler için k = f(h) olduğunu unutmayın. Yani denkleminizdeki tüm x değerlerini az önce bulduğunuz h değerleri ile değiştirerek k'yi bulabilirsiniz.

• Genel form örneğimizde h = -4 olduğunu zaten belirledik. k'yi bulmak için, x yerine h değerimizi ekleyerek denklemimizi çözeriz:

  • k = 2(-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2(16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Adım 7.

• Tepe form örneğimizde, yine herhangi bir matematik işlemi yapmadan k'nin (12 olan) değerini biliyoruz.

Adım 5. Zirvenizi çizin

Parabolünüzün tepe noktası (h, k) noktasıdır – h x koordinatını, k ise y koordinatını temsil eder. Köşe, parabolünüzün orta noktasıdır - ya U'nun altında ya da ters çevrilmiş U'nun tepesinde. Köşeleri bilmek, kesin bir parabol çizmenin önemli bir parçasıdır - genellikle okul ödevlerinde, bir soruda aranacak kısım tepe noktasını belirlemektir.

• Genel form örneğimizde tepe noktamız (-4, 7). Böylece, parabolümüz 0'dan sola 4 adım ve yukarıdaki (0, 0) 7 adımla sonuçlanacak. Koordinatları işaretlediğimizden emin olarak bu noktayı grafiğimizde göstermeliyiz.
• Köşe formu örneğimizde köşemiz (5, 12)'dir. 5 adım sağa ve 12 adım yukarı (0, 0) bir nokta çizmemiz gerekiyor.

Adım 6. Parabolün eksenini çizin (isteğe bağlı)

Bir parabolün simetri ekseni, merkezinden geçen ve onu tam ortadan bölen bir çizgidir. Bu eksende parabolün sol tarafı sağ tarafı yansıtacaktır. ax biçimindeki ikinci dereceden denklemler için² + bx + c veya a(x - h)² + k, simetri ekseni, y eksenine paralel (diğer bir deyişle tam dikey) olan ve tepe noktasından geçen çizgidir.

Genel form örneğimizde eksen, y eksenine paralel ve (-4, 7) noktasından geçen doğrudur. Parabolün bir parçası olmasa da, grafiğinizde bu çizgiyi ince bir şekilde işaretlemek, sonunda parabolün eğrisinin simetrik şeklini görmenize yardımcı olacaktır

Adım 7. Parabolün açılma yönünü bulun

Parabolün tepesini ve eksenini öğrendikten sonra, parabolün açılıp açılmadığını bilmemiz gerekir. Neyse ki, bu kolay. a'nın değeri pozitifse parabol yukarı doğru açılır, a'nın değeri negatifse parabol aşağı doğru açılır (yani parabol ters çevrilir).

• Genel form örneğimiz için (f(x) = 2x² +16x + 39), denklemimizde a = 2 (pozitif) olduğu için açılan bir parabolümüz olduğunu biliyoruz.
• Köşe formu örneğimiz için (f(x) = 4(x - 5)² + 12), a = 4 (pozitif) olduğu için açılan bir parabolümüz olduğunu da biliyoruz.

Adım 8. Gerekirse, x-kesişimini bulun ve çizin

Çoğu zaman, okul çalışmasında, paraboldeki (parabolün x ekseniyle buluştuğu bir veya iki nokta) x-kesişimini bulmanız istenecektir. Bir tane bulamasanız bile, bu iki nokta kesin bir parabol çizmek için çok önemlidir. Ancak, tüm parabollerin bir x kesme noktası yoktur. Parabolünüzün açılan bir köşesi varsa ve köşesi x ekseninin üzerindeyse veya aşağı doğru açılıyorsa ve köşesi x ekseninin altındaysa, parabolün x kesişimi olmayacak. Aksi takdirde, x-intercept'inizi aşağıdaki yollardan biriyle çözün:

• Sadece f(x) = 0 yapın ve denklemi çözün. Bu yöntem, özellikle tepe biçiminde basit ikinci dereceden denklemler için kullanılabilir, ancak karmaşık denklemler için çok zor olacaktır. Örnek için aşağıya bakın

  • f(x) = 4(x - 12)² - 4
  • 0 = 4(x - 12)² - 4
  • 4 = 4(x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Kök (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 ve 13 paraboldeki x-kesişim noktasıdır.

• Denklemini çarpanlara ayır. ax biçimindeki bazı denklemler² + bx + c kolayca (dx + e)(fx +g) biçiminde çarpanlara ayrılabilir, burada dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx ve e × g = c. Bu durumda, x kesişimleriniz, parantez içindeki herhangi bir terimi = 0 yapacak olan x değerleridir. Örneğin:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1)(x + 1)
  • Bu durumda, tek x kesmeniz -1'dir çünkü x'i -1'e eşitlemek parantez içindeki herhangi bir faktör terimini 0'a eşit yapar.

• İkinci dereceden formülü kullanın. x-kesişimini kolayca çözemiyorsanız veya denkleminizi çarpanlara ayıramıyorsanız, bu amaç için oluşturulmuş ikinci dereceden formül adı verilen özel bir denklem kullanın. Henüz çözülmediyse, denkleminizi ax formuna dönüştürün² + bx + c, ardından x = (-b +/- sqrt(b) formülüne a, b ve c'yi girin² - 4ac))/2a. Bu yöntemin genellikle x değeri için size iki yanıt verdiğini unutmayın, ki bu sorun değil – bu sadece parabolünüzün iki x kesme noktası olduğu anlamına gelir. Örnek için aşağıya bakın:

  • -5x² + 1x + 10, ikinci dereceden formüle şu şekilde konur:
  • x = (-1 +/- Kök (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Kök(1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Kök(201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) ve (-15, 18/-10). Paraboldeki x kesme noktası x = - 1, 318 ve 1, 518
  • Genel forma ilişkin önceki örneğimiz, 2x² +16x+39 ikinci dereceden formüle aşağıdaki gibi konur:
  • x = (-16 +/- Kök(16)² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Kök(256 - 312))/4
  • x = (-16 +/- Kök(-56)/-10
  • Negatif bir sayının karekökünü bulmak imkansız olduğundan, bu parabolün x kesişimi yok.

Adım 9. Gerekirse, y-kesişimini bulun ve çizin

Denklemlerde (parabolün y ekseninden geçtiği nokta) y-kesişimini aramak çoğu zaman gerekli olmasa da, özellikle okuldaysanız, sonunda onu bulmanız gerekebilir. İşlem oldukça basittir - sadece x = 0 yapın, ardından denkleminizi f(x) veya y için çözün, bu da parabolünüzün y ekseninden geçtiği yerde y'nin değerini verir. x-kesişiminden farklı olarak, düzenli bir parabolün yalnızca bir y-kesişimi olabilir. Not – genel formdaki denklemler için, y-kesme noktası y = c'dedir.

• Örneğin, ikinci dereceden denklemimizin 2x olduğunu biliyoruz.² + 16x + 39, y = 39'da bir y kesme noktasına sahiptir, ancak aşağıdaki şekilde de bulunabilir:

  • f(x) = 2x² +16x+39
  • f(x) = 2(0)² + 16(0) + 39

  • f(x) = 39. Parabolün y-kesişim noktası y = 39.

    Yukarıda belirtildiği gibi, y-kesme noktası y = c'dedir.

• Köşe denklemimizin formu 4(x - 5)² + 12, aşağıdaki şekilde bulunabilecek bir y-kesişimine sahiptir:

  • f(x) = 4(x - 5)² + 12
  • f(x) = 4(0 - 5)² + 12
  • f(x) = 4(-5)² + 12
  • f(x) = 4(25) + 12

  • f(x) = 112. Parabolün y-kesişim noktası y = 112.

Adım 10. Gerekirse ek noktalar çizin, ardından bir grafik çizin

Artık denkleminizde tepe noktası, yön, x kesişimi ve muhtemelen y kesişimi var. Bu aşamada elinizdeki noktaları kılavuz olarak kullanarak parabolünüzü çizmeyi deneyebilir veya çizdiğiniz eğrinin daha kesin olması için parabolünüzü doldurmak için başka noktalar arayabilirsiniz. Bunu yapmanın en kolay yolu, köşenizin herhangi bir tarafına bazı x değerleri girmek, ardından elde ettiğiniz y değerlerini kullanarak bu noktaları çizmektir. Çoğu zaman, öğretmenler parabolünüzü çizmeden önce birkaç nokta aramanızı ister.

• x denklemini gözden geçirelim² + 2x + 1. x-kesişiminin yalnızca x = -1'de olduğunu zaten biliyoruz. Eğri yalnızca bir noktada x kesişim noktasına değdiği için, tepe noktasının x kesişimi olduğu sonucuna varabiliriz, bu da tepe noktasının (-1, 0) olduğu anlamına gelir. Bu parabol için aslında sadece bir noktamız var - iyi bir parabol çizmek için yeterli değil. Kapsamlı bir grafik çizdiğimizden emin olmak için başka noktalara bakalım.

  • Aşağıdaki x değerleri için y değerlerini bulalım: 0, 1, -2 ve -3.
  • 0 için: f(x) = (0)² + 2(0) + 1 = 1. Amacımız (0, 1).

  • 1 için: f(x) = (1)² + 2(1) + 1 = 4. Amacımız (1, 4).

  • -2 için: f(x) = (-2)² + 2(-2) + 1 = 1. Konumuz (-2, 1).

  • -3 için: f(x) = (-3)² + 2(-3) + 1 = 4. Amacımız (-3, 4).

  • Bu noktaları grafiğe çizin ve U şeklindeki eğrinizi çizin. Parabolün mükemmel simetrik olduğuna dikkat edin – parabolün bir tarafındaki noktalarınız tamsayı olduğunda, genellikle parabolün diğer tarafında aynı noktayı bulmak için parabolün simetri ekseni üzerinde belirli bir noktayı basitçe yansıtma işini azaltabilirsiniz..

İpuçları

• Cebir öğretmeninizin isteğine göre sayıları yuvarlayın veya kesirleri kullanın. Bu, ikinci dereceden denklemin grafiğini daha iyi çizmenize yardımcı olacaktır.
• f(x) = ax olduğuna dikkat edin² + bx + c, b veya c sıfıra eşitse bu sayılar kaybolur. Örneğin, 12x² + 0x + 6, 12x olur² + 6 çünkü 0x 0'dır.